\begin{equation}
\lim_{x \to +0} x^x
\end{equation}
の極限について見ていきます。
0の0乗という、一見、何のことか分からない形になっています。
0のように見えますが、果たしてどうでしょうか？
対数をとり、
\begin{equation}
\log x^x = x\log x
\end{equation}の極限を求めていきます。
さらに、
\begin{equation}
x = e^{-t}
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\log x &=& -t \\
t & \to & \infty
\end{eqnarray}となります。
x/e^xの極限 - 数式で独楽する
を踏まえると、
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to +0} x\log x &=& \lim_{t \to \infty} e^{-t} \, (-t) \\
&=& -\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} \\
&=& 0
\end{eqnarray}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\lim_{x \to +0} x^x = 1
\end{equation}となります。
グラフを描かせると、下図のようになります。
なお、は、
で定義可能です。
