2023年京大理系/文系第2問 - 数式で独楽する

空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にないとする。点D, P, Qを次のように定める。点Dは $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} +2\overrightarrow{\mathrm{OB}} +3\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を満たし、点Pは線分OAを1:2に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比OR:RDを求めよ。

解答例
解説

解答例

問いの条件により、点P, Qは
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& \frac{1}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& \frac{1}{2} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \tag{2}
\end{eqnarray}と表すことができます。
また、点Rについては、実数 $x$ を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& x \, \overrightarrow{\mathrm{OD}} \\
&=& x \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +2x \,\overrightarrow{\mathrm{OB}} +3x \, \overrightarrow{\mathrm{OC}} \tag{3}
\end{eqnarray}とします。

式(1)～(3)より、直線PCとQRが交点Sを持つとき、Sは実数 $y,z$ を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OS}} &=& (1 -y) \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} +y \, \overrightarrow{\mathrm{OC}} \\
&=& \frac{1}{3} \, (1 -y) \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +y \, \overrightarrow{\mathrm{OC}} \tag{4} \\
\overrightarrow{\mathrm{OS}} &=& (1 -z) \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +z \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \\
&=& xz \,\overrightarrow{\mathrm{OA}} +\left \{ 2xz +\frac{1}{2} \, (1 -z) \right \} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}} +3xz \, \overrightarrow{\mathrm{OC}} \tag{5}
\end{eqnarray}と表すことができます。

式(4), (5)より、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{3} \, (1 -y) &=& xz \tag{6} \\
2xz -\frac{1}{2} \, (1 -z) &=& 0 \tag{7} \\
y &=& 3xz \tag{8}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(6), (8)を解くと、
\begin{eqnarray}
y &=& \frac{1}{2} \\
xz &=& \frac{1}{6} \tag{9}
\end{eqnarray}を得ます。
これを式(7)に代入します。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \, (z -1) &=& \frac{1}{3} \\
z &=& \frac{5}{3}
\end{eqnarray}これを式(9)に返して
\begin{equation}
x = \frac{1}{10}
\end{equation}を得ます。

よって、求める比は

OR:RD = 1:9

です。