整式を2次式で割った余り - 数式で独楽する

整式 $P(x)$ を2次式

$(x -a)(x -b) \ (a \ne b)$ で割った余りは $P(a), P(b)$ で、
$(x -a)^2$ で割った余りは $P(a), P'(a)$ で

評価できます。

やっていることは、剰余の定理と似ています。
剰余の定理と因数定理 - 数式で独楽する

$a \ne b$ の場合、整式 $Q(x)$ を用いて
\begin{equation}
P(x) = (x -a)(x -b) Q(x) +sx +t
\end{equation}と書くことができます。2次式で割っているので、余りは高々1次式です。
$x = a,b$ とすると、 $Q(x)$ を含む項が消えます。
\begin{eqnarray}
P(a) &=& as +t \\
P(b) &=& bs +t
\end{eqnarray}余りの係数 $s,t$ について連立方程式ができたので、これを解くと余りを得ることができます。

(ii) $a = b$ の場合
\begin{equation}
P(x) = (x -a)^2 Q(x) +sx +t
\end{equation}の形になります。(i)項を真似すると、連立方程式はできません。
両辺を微分して
\begin{equation}
P'(x) = (x -2)^2 Q'(x) +2(x -a) Q(x) +s
\end{equation}として $x = a$ を代入します。
\begin{eqnarray}
P(a) &=& as +t \\
P'(a) &=& s
\end{eqnarray}という連立方程式ができます。これを解いて余りを得られます。

3次以上の整式で割った余りも同様にして求めることができるはずです。たぶん。