2023年東大理科第5問 - 数式で独楽する

整式 $f(x) = (x -1)^2 (x -2)$ を考える。
(1) $g(x)$ を実数を係数とする整式とし、 $g(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とおく。 $g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りが等しいことを示せ。
(2) $a,b$ を実数とし、 $h(x) = x^2 +ax +b$ とおく。 $h(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_1(x)$ とし、 $h_1 (x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_2 (x)$ とおく。 $h_2 (x)$ が $h(x)$ に等しくなるような $a,b$ の組をすべて求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

$g(x)$ は整式 $p(x)$ を用いて
\begin{equation}
g(x) = p(x) f(x) +r(x)
\end{equation}と書くことができます。
二項定理により、
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
g(x)^7 = \sum_{k = 0}^7 {}_7 C_k \left \{ p(x) f(x) \right \}^{7 -k} r(x)^k
\end{equation}なので、整式 $q(x)$ を用いて
\begin{equation}
g(x)^7 = q(x) f(x) +r(x)^7
\end{equation}と書くことができます。
変形すると、
\begin{equation}
g(x)^7 -r(x)^7 = q(x) f(x) \tag{1}
\end{equation}です。
式(1)は、

$g(x)^7 -r(x)^7$ が $f(x)$ で割り切れる

ことを示しています。
したがって、これは

$g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと
$r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余り

は等しいことを示しています。(証明おわり)

小問(2)の解答例

$h(x)^7, \ h_1(x)^7$ は、整式 $u(x), \ v(x)$ を用いて
\begin{eqnarray}
h(x)^7 &=& u(x) f(x) +h_1(x) \tag{2} \\
h_1(x)^7 &=& v(x) f(x) +h_2(x) \tag{3}
\end{eqnarray}と書くことができます。
式(2), (3)と小問(1)の結果により、整式 $w(x)$ を用いて
\begin{equation}
h(x)^{49} = w(x) f(x) +h_2(x) \tag{4}
\end{equation}と書けます。

$h_2(x) = h(x)$ となる場合、式(4)は
\begin{equation}
h(x)^{49} = w(x) f(x) +h(x) \tag{5}
\end{equation}となります。
\begin{equation}
f(x) = (x -1)^2 (x -2)
\end{equation}であることを踏まえ、式(5)を微分した
\begin{equation}
49 h'(x) h(x)^{48} = \left \{ w(x) f(x) \right \}' h'(x) \tag{6}
\end{equation}を用意します。
\begin{eqnarray}
h(x) &=& x^2 +ax +b \\
h'(x) &=& 2x +a
\end{eqnarray}なので、式(5), (6)は
\begin{eqnarray}
(x^2 +ax +b)^{49} &=& (x -1)^2 (x -2) w(x) +x^2 +ax +b \tag{7} \\
49(2x +a)(x^2 +ax +b)^{48} &=& \left \{ (x -1)^2 +2(x -1)(x -2) \right \} w(x) +(x -1)^2 (x -2) w'(x) +2x +a \tag{8}
\end{eqnarray}となります。
式(7), (8)に $x = 1$ を、式(7)に $x = 2$ を代入すると、
\begin{eqnarray}
(1 +a +b)^{49} &=& 1 +a +b \tag{9} \\
49(2 +a)(1 +a +b)^{48} &=& 2 +a \tag{10} \\
(4 +2a +b)^{49} &=& 4 +2a +b \tag{11}
\end{eqnarray}を得ます。
式(9)に着目し、 $1 +a +b$ の値で場合分けをします。

(i) $1 +a +b = 0$ の場合
式(10)は
\begin{equation}
2 +a = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
(a,b) = (-2, 1)
\end{equation}となります。
このとき、
\begin{equation}
4 +2a +b = 1
\end{equation}なので、式(11)を満たします。

(ii) $1 +a +b \ne 0$ の場合
式(9)は
\begin{equation}
(1 +a +b)^{48} = 1
\end{equation}となります。係数は全て実数なので
\begin{equation}
1 +a +b = \pm 1
\end{equation}を得ます。
このとき、式(10)は
\begin{equation}
48(2 +a) = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
(a,b) = (-2, 2), \ (-2, 0)
\end{equation}を得ます。