整式
を整式
で割ったときの余りを求めよ。
解答例
\begin{eqnarray}
x^{2023} -1 &=& (x -1)(x^{2022} +x^{2021} +\cdots +x +1) \\
&=& (x -1)\\
&& \times \{ (x^4 +x^3 +x^2 +x +1)(x^{2018} +x^{2013} +\cdots +x +1) \\
&& \quad +x^2 +x +1 \} \\
&=& (x -1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)(x^{2018} +x^{2013} +\cdots +x^8 +x^3) \\
&& +(x -1)(x^2 +x +1) \\
&=& (x -1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)(x^{2018} +x^{2013} +\cdots +x^8 +x^3) \\
&& +x^3 -1
\end{eqnarray}
よって、求める余りは
\begin{equation}
x^3 -1
\end{equation}です。
