黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1) どの赤玉も隣り合わない確率
を求めよ。
(2) どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率
を求めよ。
小問(1)の解答例
玉の並べ方の総数は、同じ色の重複を考慮して
\begin{equation}
N = 12!
\end{equation}です。どの並びも同様に確からしいので、重複するものはその分だけ確率が高くなります。
さて、どの赤玉も隣り合わない並べ方ですが、黒玉3個と白玉5個を並べ、玉と玉の間か両端に赤玉が入れば条件は満たされることになります。
1〇2●3〇4〇5●6〇7●8〇9
黒玉と白玉の合計8個の並べ方は、同じ色の重複を考慮して8!通りです。そのそれぞれにつき、赤玉の並べ方は重複を考慮して
\begin{equation}
{}_9 P_5 = \frac{9!}{5!}
\end{equation}通りです。
したがって、条件を満たす並べ方は
\begin{equation}
n = \frac{8! \times 9!}{5!}
\end{equation}となります。
よって、求める確率は、
\begin{eqnarray}
p &=& \frac{n}{N} \\
&=& \frac{8! \times 9!/5!}{12!} \\
&=& \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{12 \cdot 11 \cdot 10} \\
&=& \frac{14}{55}
\end{eqnarray}です。
小問(2)の解答例
小問(1)と同じように考えていきます。
黒玉と白玉を下記(i)～(iii)のように並べ、条件を満たすように赤玉を入れることを考えます。
(i) 黒玉3個が隣り合う
(ii) 黒玉2個が隣り合う(3個は隣り合わない)
(iii) どの黒玉も隣り合わない
どのような並べ方に対しても、白玉、黒玉、赤玉の並べ方にそれぞれ5!、3!、4!通りの重複があり、これを数え方に含めます。
まず、白玉5個を並べます。
1〇2〇3〇4〇5〇6
(i) 黒玉3個が隣り合う場合
黒玉3個の組の入れ方は6通りです。
そのそれぞれに対し、赤玉2個は黒玉3個の間に入ります。
残りの赤玉2個を入れる所は7つあります。
1〇2〇3●赤●赤●4〇5〇6〇7
入れ方は\begin{equation}
{}_7 C_2 = \frac{7!}{2! \ 5!} = 7 \cdot 3
\end{equation}通りです。
したがって、この場合の並べ方は
\begin{equation}
m_1 = 6 \cdot 7 \cdot 3 \cdot (5! \ 3! \ 4!)
\end{equation}です。
(ii) 黒玉2個が隣り合う場合
黒玉の2連と単独の入れ方は、
\begin{equation}
{}_6 P_2 = 6 \cdot 5
\end{equation}です。
そのそれぞれに対し、赤玉1個は黒玉2個の間に入ります。残りの3個を入れる所は8つあります。
1〇2〇3●赤●4〇5〇6〇7●8
入れ方は\begin{equation}
{}_8 C_3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7
\end{equation}です。
したがって、この場合の並べ方は
\begin{equation}
m_2 = 6 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot (5! \ 3! \ 4!)
\end{equation}通りです。
(iii) どの黒玉も隣り合わない場合
黒玉の入れ方は
\begin{equation}
{}_6 C_3 = 5 \cdot 4
\end{equation}通りです。
そのそれぞれに対し、赤玉の入れ方は
\begin{equation}
{}_9 C_4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7
\end{equation}通りです。
したがって、この場合の並べ方は、
\begin{equation}
m_3 = 5 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot (5! \ 3 ! \ 4!)
\end{equation}通りです。
以上より、該当する並べ方は、
\begin{eqnarray}
m &=& m_1 +m_2 +m_3 \\
&=& (6 \cdot 7 \cdot 3 +6 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7 +5 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7) \cdot 3! \ 4! \ 5! \\
&=& 6 \cdot 7 \cdot (3 +40 +60) \cdot 3! \ 4! \ 5! \\
&=& 6 \cdot 7 \cdot 103 \cdot 3! \ 4! \ 5!
\end{eqnarray}通りです。
よって、求める条件付き確率は、
\begin{eqnarray}
q &=& \frac{m}{n} \\
&=& \frac{6 \cdot 7 \cdot 103 \cdot 3! \ 4! \ 5!}{8! \ 9!/5!} \\
&=& \frac{6 \cdot 7 \cdot 103 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 6}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \\
&=& \frac{2 \cdot 103}{8 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2} \\
&=& \frac{103}{168}
\end{eqnarray}です。
解説
確率の問題なので、玉の重複を考慮しています。
確率は「当該の数」÷「全体の数」ですが、どちらも重複を考慮しているため、重複分は約分で消えてしまいます。
例えば
\begin{equation}
p = \cfrac{\cfrac{8!}{5! \ 3!} \cfrac{9!}{5! \ 4!}}{\cfrac{12!}{5! \ 3! \ 4!}}
\end{equation}なので、結果としては同じになっています。
とは言うものの、並べ方の重複については何か言及しておくのがよいかもしれません。採点者ではないので何とも言えませんが。
