京大 2006年前期理系第1問 - 数式で独楽する

$Q(x)$ を2次式とする。整式 $P(x)$ は $Q(x)$ では割り切れないが、 $\{ P(x) \}^2$ は $Q(x)$ で割り切れるという。このとき2次方程式 $Q(x) = 0$ は重解をもつことを示せ。

解答例
解説

解答例

整式 $P(x)$ は2次式 $Q(x)$ で割り切れないので、整式 $R(x)$ を用いて
\begin{equation}
P(x) = Q(x) R(x) +(ax -b) \quad \left( (a,b) \ne (0,0) \right) \tag{1}
\end{equation}と書くことができます。

このとき、
\begin{eqnarray}
\left \{ P(x) \right \}^2 &=& \left \{ Q(x) R(x) +(ax -b) \right \}^2 \\
&=& \left \{ Q(x) \right \}^2 \left \{ R(x) \right \}^2 +2(ax -b) Q(x)R(x) +(ax -b)^2
\end{eqnarray}は2次式 $Q(x)$ で割り切れるので、定数 $k \ne 0$ を用いて
\begin{equation}
Q(x) = k(ax -b)^2 \quad (a \ne 0)
\end{equation}となります。