2001年後期京大文系第5問 - 数式で独楽する

青玉 $a$ 個、赤玉 $b$ 個、白玉 $c$ 個、合計 $N = a +b +c$ 個の玉が入っている袋がある。この袋から無作為に1個の玉を取り出し、色を見て袋に戻す。これを $n$ 回繰り返す。取り出される玉の色の数の期待値を $E_n$ とするとき、
\begin{equation}
E_n = 3 -\left( \frac{a +b}{N} \right)^n -\left( \frac{b +c}{N} \right)^n -\left( \frac{c +a}{N} \right)^n
\end{equation}を示せ。

解答例
解説

解答例

まず、1色のみである確率 $p_1$ は、
\begin{equation}
p_1 = \left( \frac{a}{N} \right)^n +\left( \frac{b}{N} \right)^n +\left( \frac{c}{N} \right)^n
\end{equation}です。

次に、2色となる確率 $p_2$ について考えます。
2色となるのは、

いずれか2色を引き続ける
同じ色をずっと引き続ける状況を除く

ということです。
青赤の2色となる確率は
\begin{equation}
\left( \frac{a +b}{N} \right)^n -\left( \frac{a}{N} \right)^n -\left( \frac{b}{N} \right)^n
\end{equation}です。
同様に、赤白の場合は
\begin{equation}
\left( \frac{b +c}{N} \right)^n -\left( \frac{b}{N} \right)^n -\left( \frac{c}{N} \right)^n
\end{equation}白青の場合は
\begin{equation}
\left( \frac{c +a}{N} \right)^n -\left( \frac{c}{N} \right)^n -\left( \frac{a}{N} \right)^n
\end{equation}です。
したがって、
\begin{equation}
p_2 = \left( \frac{a +b}{N} \right)^n +\left( \frac{b +c}{N} \right)^n +\left( \frac{c +a}{N} \right)^n -2\left( \frac{a}{N} \right)^n -2\left( \frac{b}{N} \right)^n -2\left( \frac{c}{N} \right)^n
\end{equation}となります。

3色となるのは、

1色ではない
2色でもない

ので、確率 $p_3$ は、
\begin{eqnarray}
p_3 &=& 1 -p_1 -p_2 \\
&=& 1 -\left( \frac{a +b}{N} \right)^n -\left( \frac{b +c}{N} \right)^n -\left( \frac{c +a}{N} \right)^n +\left( \frac{a}{N} \right)^n +\left( \frac{b}{N} \right)^n +\left( \frac{c}{N} \right)^n
\end{eqnarray}となります。

よって、色数の期待値 $E_n$ は、
\begin{eqnarray}
E_n &=& p_1 +2p_2 +3p_3 \\
&=& \left( \frac{a}{N} \right)^n +\left( \frac{b}{N} \right)^n +\left( \frac{c}{N} \right)^n \\
&& +2\left \{ \left( \frac{a +b}{N} \right)^n +\left( \frac{b +c}{N} \right)^n +\left( \frac{c +a}{N} \right)^n -2\left( \frac{a}{N} \right)^n -2\left( \frac{b}{N} \right)^n -2\left( \frac{c}{N} \right)^n \right \} \\
&& +3\left \{ 1 -\left( \frac{a +b}{N} \right)^n -\left( \frac{b +c}{N} \right)^n -\left( \frac{c +a}{N} \right)^n +\left( \frac{a}{N} \right)^n +\left( \frac{b}{N} \right)^n +\left( \frac{c}{N} \right)^n \right \} \\
&=& 3 -\left( \frac{a +b}{N} \right)^n -\left( \frac{b +c}{N} \right)^n -\left( \frac{c +a}{N} \right)^n
\end{eqnarray}であることが示されます。