2001年後期 京大 理系 第5問

行列および実数に対し、行列を用いて表されたに関する連立一次方程式

(i)

(ii)

について次の条件(*)を考える。

(*) 方程式(i)には解が存在して、方程式(ii)には解が存在しない。

このとき次の問に答えよ。

(1) 条件(*)が成り立つとき、はいずれもの実数倍であることを示せ。

(2) 条件(*)をみたす2つの連立方程式をつくることができるためのの条件を求めよ。

小問(1)の解答例

(ii)が解を持たないので、は存在しません。つまり
\begin{equation}
\det A = ad -bc = 0
\end{equation}です。
\begin{equation}
\frac{b}{a} = \frac{d}{c} = k
\end{equation}とおくと、
\begin{eqnarray}
b &=& ka \\
d &=& kc
\end{eqnarray}となるので、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right) \tag{1}
\end{equation}を得ます。

このとき、(i)つまり連立方程式
\begin{eqnarray}
ax +by &=& s \\
cx +dy &=& 1 -s
\end{eqnarray}が無数の解を持ちます。
のときとすると、
\begin{eqnarray}
ax_0 &=& s \\
cx_0 &=& 1 -s
\end{eqnarray}つまり
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{s}{x_0} \\
c &=& \frac{1 -s}{x_0}
\end{eqnarray}となります。
ベクトル表記で
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right) = \frac{1}{x_0} \left( \begin{array}{c} s \\ 1 -s \end{array} \right) \tag{2}
\end{equation}を得ます。
式(1), (2)より
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right) = \frac{k}{x_0} \left( \begin{array}{c} s \\ 1 -s \end{array} \right) \tag{3}
\end{equation}を得ます。
式(2), (3)により、題意は証明されました。

小問(2)の解答例

小問(1)の結果により
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right) \parallel
\left( \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right) \parallel
\left( \begin{array}{c} s \\ 1 -s \end{array} \right)
\end{equation}なので、次の式(4), (5)が同時に成立します。
\begin{eqnarray}
a(1 -s) -cs &=& 0 \tag{4} \\
b(1 -s) -ds &=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}整理すると、
\begin{eqnarray}
(a +c)s &=& a \\
(b +d)s &=& b
\end{eqnarray}で、
\begin{equation}
s = \frac{a}{a +c} = \frac{b}{b +d} \tag{6}
\end{equation}を得ます。

また、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} s \\ 1 -s \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 -s \end{array} \right)
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
s(5 -s) -4(1 -s) & \ne & 0 \\
s^2 -9s +4 & \ne & 0 \\
\therefore \quad s & \ne & \frac{9 \pm \sqrt{65}}{2} \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。

以上より、求める条件は、
\begin{eqnarray}
s &=& \frac{a}{a +c} = \frac{b}{b +d} \tag{6} \\
s & \ne & \frac{9 \pm \sqrt{65}}{2} \tag{7}
\end{eqnarray}となります。

解説

連立方程式が解を持つ条件を押さえておけば解ける問題です。
図で表すと、(ii)は平行な2直線、(i)は重なる2直線です。