2001年後期京大理系第6問 - 数式で独楽する

$xy$ 平面上の単位円 $C_1$ と、条件 $\displaystyle -1 < a < -\frac{1}{2}$ をみたす実数 $a$ に対し、点R $(a, 0)$ を考える。 $C_1$ 上の点Pにおける $C_1$ の接線と、Rを通りこの接線と直交する直線との交点をQとする。点Pが $C_1$ 上を一周するときに、Qが描く曲線を $C_2$ とする。 $C_2$ 上の点の $x$ 座標の最小値が $-1$ より小さいことを示し、 $C_2$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

解答例
解説

解答例

$C_1 \ : \ x^2 +y^2 = 1$ 上の点P $(u,v)$ における接線は、
\begin{equation}
ux +vy = 1 \tag{1}
\end{equation}で表すことができます。
円の接線を表す式 - 数式で独楽する

$u,v$ は
\begin{equation}
u^2 +v^2 = 1 \tag{2}
\end{equation}を満たします。

原点をOとすると直線OPの式は
\begin{equation}
vx -uy = 0
\end{equation}です。
点Rを通り接線に直交する直線は、
\begin{equation}
v(x -a) -uy = 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
vx -uy = av \tag{3}
\end{equation}となります。

式(1), (3)より、交点Q $(x,y)$ は
\begin{eqnarray}
x &=& u +av^2 \tag{4} \\
y &=& v -auv \tag{5}
\end{eqnarray}となります。

式(4), (2)より、
\begin{eqnarray}
x &=& u +a(1 -u^2) \\
&=& -a \left( u -\frac{1}{2a} \right)^2 +\frac{1}{4a} +a \\
& \geqq & \frac{1}{4a} +a
\end{eqnarray}を得ます。

点Qの $x$ 座標の最小値 $x_\mathrm{min}$ について、相加・相乗平均の関係から、
相加平均、相乗平均の関係 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
x_\mathrm{min} &=& \frac{1}{4a} +a \\
&=& -\left \{ \frac{1}{-4a} +(-a) \right \} \\
&<& -2 \sqrt{\frac{1}{-4a} \cdot (-a)} \quad \left( \because -1 < a < -\frac{1}{2} \right) \\
&=& -1
\end{eqnarray}が成り立ちます。よって、題意は証明されました。
なお、等号が成立するのは $\displaystyle a = \pm \frac{1}{2}$ なので、ここでは省いています。

次に $C_2$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めます。
OQ $= r$ とすると、式(4), (5)と式(2)より、
\begin{eqnarray}
r^2 &=& x^2 +y^2 \\
&=& u^2 +2auv^2 +a^2 v^4 +v^2 -2auv^2 a^2 u^2 v^2 \\
&=& u^2 +v^2 +a^2 v^2 \left( u^2 +v^2 \right) \\
&=& 1 +a^2 v^2
\end{eqnarray}となります。

ここで
\begin{equation}
v = \sin \theta
\end{equation}とします。
図形が $x$ 軸で対称であることから、面積は
\begin{eqnarray}
S &=& 2 \times \frac{1}{2} \int_0^\pi r^2 \, d\theta \\
&=& \int_0^\pi \left( 1 +a^2 \sin^2 \theta \right) \, d\theta \\
&=& \int_0^\pi \left \{ 1 +\frac{a^2 (1 -\cos 2\theta)}{2} \right \} \, d\theta \\
&=& \left[ \theta +\frac{a^2}{2} \left( \theta -\frac{1}{2} \, \sin 2\theta \right) \right]_0^\pi \\
&=& \pi \left( 1 +\frac{a^2}{2} \right)
\end{eqnarray}となります。
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