2000年前期京大文系第3問(理系第3問)

$\vec{a} = (1,0,0), \ \vec{b} = (\cos 60^\circ, \, \sin 60^\circ, \, 0)$ とする。
(1) 長さ1の空間ベクトル $\vec{c}$ に対し、 $\cos \alpha = \vec{a} \cdot \vec{b}, \ \cos \beta = \vec{b} \cdot \vec{c}$ とおく。このとき次の不等式(*)が成り立つことを示せ。
\begin{equation}
(*) \ \cos^2 \alpha -\cos \alpha \cos \beta +\cos^2 \beta \leqq \frac{3}{4}
\end{equation}
(2) 不等式(*)を満たす $(\alpha, \beta) \ (0^\circ \leqq \alpha \leqq 180^\circ, \ 0^\circ \leqq \beta \leqq 180^\circ)$ の範囲を図示せよ。
(註) 理系の問題はラジアン表記です。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

\begin{equation}
\vec{c} = (x,y,z)
\end{equation}とします。
\begin{equation}
x^2 +y^2 +z^2 = 1 \tag{1}
\end{equation}が成り立っています。

また、
\begin{eqnarray}
\cos \alpha &=& \vec{a} \cdot \vec{c} &=& x \tag{2} \\
\cos \beta &=& \vec{b} \cdot \vec{c} &=& \frac{1}{2} \, x +\frac{\sqrt{3}}{2} \, y \tag{3}
\end{eqnarray}です。

式(1)～(3)により、
\begin{eqnarray}
\cos^2 \alpha -\cos \alpha \cos \beta +\cos^2 \beta
&=& x^2 -\left( \frac{1}{2} \, x^2 +\frac{\sqrt{3}}{2} \, xy \right) +\left( \frac{1}{4} \, x^2 +\frac{\sqrt{3}}{2} \, xy +\frac{3}{4} \, y^2 \right) \\
&=& \frac{3}{4} \, (x^2 +y^2) \\
& \leqq & \frac{3}{4}
\end{eqnarray}を得ます。
つまり、不等式(*)は成り立ちます。(証明おわり)

小問(2)の解答例

\begin{eqnarray}
\cos^2 \alpha &=& \frac{1 +\cos 2\cos \alpha}{2} \\
\cos^2 \beta &=& \frac{1 +\cos 2\cos \beta}{2} \\
\cos \alpha \cos \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \cos (\alpha +\beta) +\cos (\alpha -\beta) \right \}
\end{eqnarray}なので、不等式(*)は
\begin{eqnarray}
\frac{1 +\cos 2\cos \alpha}{2} -\frac{1}{2} \left \{ \cos (\alpha +\beta) +\cos (\alpha -\beta) \right \} +\frac{1 +\cos 2\cos \beta}{2} & \leqq & \frac{3}{4} \\
\frac{1}{2} \, \cos 2\alpha -\frac{1}{2} \left \{ \cos (\alpha +\beta) +\cos (\alpha -\beta) \right \} +\frac{1}{2} \, \cos 2\beta & \leqq & -\frac{1}{4} \\
\cos 2\alpha -\cos (\alpha +\beta) -\cos (\alpha -\beta) +\cos 2\beta +\frac{1}{2} & \leqq & 0 \\
2\cos (\alpha +\beta) \cos (\alpha -\beta) -\cos (\alpha +\beta) -\cos (\alpha -\beta) +\frac{1}{2} & \leqq & 0 \\
4\cos (\alpha +\beta) \cos (\alpha -\beta) -2\cos (\alpha +\beta) -2\cos (\alpha -\beta) +1 & \leqq & 0 \\
\left \{ 2\cos (\alpha +\beta) -1 \right \} \left \{ 2\cos (\alpha -\beta) -1 \right \} & \leqq & 0
\end{eqnarray}となります。
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
 積和の公式 - 数式で独楽する
 和積の公式 - 数式で独楽する

これより、次の式(4)かつ式(5)
\begin{eqnarray}
2\cos (\alpha +\beta) -1 & \geqq & 0 \tag{4} \\
2\cos (\alpha -\beta) -1 & \leqq & 0 \tag{5}
\end{eqnarray}または次の式(6)かつ式(7)
\begin{eqnarray}
2\cos (\alpha +\beta) -1 & \leqq & 0 \tag{6} \\
2\cos (\alpha -\beta) -1 & \geqq & 0 \tag{7}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

一方、
\begin{eqnarray}
0^\circ & \leqq & \alpha & \leqq & 180^circ \tag{8} \\
0^\circ & \leqq & \beta & \leqq & 180^\circ \tag{9}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
0^\circ & \leqq & \alpha +\beta & \leqq & 360^\circ \\
-180^\circ & \leqq & \alpha -\beta & \leqq & 180^\circ
\end{eqnarray}です。
これを踏まえると、求める範囲は次のようになります。

式(4)かつ式(5)より、次の式(4.1)または式(4.2)
\begin{eqnarray}
0^\circ & \leqq & \alpha +\beta & \leqq & 60^\circ \tag{4.1} \\
300^\circ & \leqq & \alpha +\beta & \leqq & 360^\circ \tag{4.2}
\end{eqnarray}かつ次の式(5.1)または(5.2)
\begin{eqnarray}
-180^\circ & \leqq & \alpha -\beta & \leqq & -60^\circ \tag{5.1} \\
60^\circ & \leqq & \alpha -\beta & \leqq & 180^\circ \tag{5.2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

また、式(6)かつ式(7)より、次の式(6.1)かつ式(7.1)が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
60^\circ & \leqq & \alpha +\beta & \leqq & 300^\circ \tag{6.1} \\
-60^\circ & \leqq & \alpha -\beta & \leqq & 60^\circ \tag{7.1}

式(8), (9)も踏まえると、求める $(\alpha, \beta)$ の範囲は次の図の水色で着色した領域になります。領域の縁は含みます。