2000年前期 京大 文系 第2問

実数が条件を満たすとし、の最小値をとする。このとき、となるの個数は1または2であることを示せ。

解答例

条件を書き換えると、
\begin{equation}
x_{k +1} -x_k > x_k -x_{k -1}
\end{equation}つまり、
\begin{equation}
x_n -x_{n -1} > x_{n -1} -x_{n -2} > \cdots > x_2 -x_1 \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。

の個数が

1の場合

とすると、
\begin{equation}
x_n -x_{n -1} > \cdots > x_{l +1} -x_l > 0 > x_l -x_{l -1} > \cdots > x_2 -x_1
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
x_1 > x_2 > \cdots > x_{l -1} > x_l = m < x_{l +1} < \cdots < x_{n -1} < x_n
\end{equation}が成り立ちます。

なお、の場合
\begin{equation}
x_n -x_{n -1} > \cdots > x_2 -x_1 > 0
\end{equation}なので
\begin{equation}
m = x_1 < x_2 < \cdots < x_n
\end{equation}となります。
の場合は
\begin{equation}
0 > x_n -x_{n -1} > \cdots > x_2 -x_1
\end{equation}なので
\begin{equation}
x_1 < x_2 < \cdots < x_n = m
\end{equation}となります。

2の場合

式(1)を踏まえて
\begin{equation}
x_l = x_{l +1} \quad (1 \leqq l \leqq n -1)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
x_n -x_{n -1} > \cdots > x_{l +1} -x_l = 0 > x_l -x_{l -1} > \cdots > x_2 -x_1
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
x_1 > x_2 > \cdots > x_l =. x_{l +1} = m < \cdots < x_{n -1} < x_n
\end{equation}が成り立ちます。

なお、の場合
\begin{equation}
x_n -x_{n -1} > \cdots > x_2 -x_1 = 0
\end{equation}なので
\begin{equation}
m = x_1 = x_2 < x_3 < \cdots < x_n
\end{equation}となります。
の場合は
\begin{equation}
0 = x_n -x_{n -1} > \cdots > x_2 -x_1
\end{equation}なので
\begin{equation}
x_1 < x_2 < \cdots < x_{n -2} < x_{n -1} = x_n = m
\end{equation}となります。

3以上の場合

\begin{equation}
x_{l +1} -x_l = x_l -x_{l -1} = \cdots = 0
\end{equation}となる処ができ、条件を満たしません。

まとめ

以上より、の個数は1または2であることが示されました。

解説

面白い問題です。
与えられた条件を整理すると、階差数列が単調増加であることが分かります。これを梃子にすれば、元の分かります。数列が

1. 単調減少
2. 減少してから増加する
3. 単調増加

のいずれかであることが分かります。