実数
は
の範囲を動くものとする。
小問(1)の解答例
\begin{eqnarray}
y &=& \sqrt{x} \tag{1} \\
y &=& \frac{2}{a} \, x +1 -\frac{1}{a} \tag{2}
\end{eqnarray}よりを消去して分母を払うと、
\begin{equation}
(2x +a -1)^2 = a^2 x \tag{3}
\end{equation}となります。さらに整理して
\begin{eqnarray}
4x^2 +4(a -1)x +(a -1)^2 &=& a^2 x \\
\Rightarrow \quad 4x^2 -(a -2)^2 x +(a -1)^2 &=& 0 \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。
式(1), (2)のグラフが共有点を持つこととは式(4)が実数解を持つことであるので、の満たすべき条件は
\begin{equation}
D = (a -2)^4 -16(a -1)^2 \geqq 0
\end{equation}となります。
整理します。
\begin{eqnarray}
\{ (a -2)^2 +4(a -1) \} \{ (a -2)^2 -4(a -1) \} & \geqq & 0 \\
a^2 (a^2 -8a +8) & \geqq & 0
\end{eqnarray}これより、
\begin{equation}
a \leqq 4 -2\sqrt{2}, \ 4 +2\sqrt{2} \leqq a
\end{equation}ですが、そもそもなので、求める
の範囲は
\begin{equation}
0 < a \leqq 4 -2\sqrt{2}
\end{equation}となります。
小問(2)の解答例
与えられた方程式は式(4)に変形できるので、解と係数の関係により
\begin{eqnarray}
\alpha +\beta &=& \frac{(a -2)^2}{4} \geqq 0\tag{5} \\
\alpha \beta &=& \frac{(a -1)^2}{4} \geqq 0 \tag{6}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
解と係数の関係 - 数式で独楽する
(i) の場合
式(5), (6)により、は共に負でない実数です。また、設問の前提により、
\begin{equation}
0 \leqq \alpha \leqq \beta
\end{equation}となります。
したがって、が最小となるのは
\begin{eqnarray}
\beta &=& \alpha \\
a &=& 4 -2\sqrt{2}
\end{eqnarray}のときです。
このとき、式(5)より
\begin{eqnarray}
\beta &=& \frac{(a -2)^2}{8} \\
&=& \frac{(2 -2\sqrt{2})^2}{8} \\
&=& \frac{(1 -\sqrt{2})^2}{2} \\
&=& \frac{3 -2\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray}となります。
(ii) の場合
\begin{equation}
\alpha = \bar{\beta}
\end{equation}なので式(6)は
\begin{equation}
\alpha \beta = \bar{\beta} \beta = |\beta|^2 = \frac{(a -1)^2}{4}
\end{equation}となります。
なので、
\begin{equation}
|\beta| = \frac{a -1}{2} > \frac{3 -2\sqrt{2}}{2}
\end{equation}を得ます。
(i), (ii)により、の最小値は、
\begin{equation}
|\beta|_\mbox{min} = \frac{3 -2\sqrt{2}}{2}
\end{equation}となります。
解説
小問(1)はを消去して解が存在する範囲を求めることになります。直線の方が点
を通ることを踏まえて図を描いてみれば、見通しは立つでしょう。
小問(2)は、実数解となる場合と複素数解となる場合を分けて考える必要があります。実数解の場合は、重解となるときが絶対値が最小になります。複素数解の場合は互いに共役(共軛)となること、その積は絶対値の2乗となることを弁えていれば攻略は可能です。
共軛複素数 その2 - 数式で独楽する
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