2000年前期京大理系第6問その3

$n,k$ は整数で、 $n \geqq 2, \ 0 \leqq k \leqq 4$ とする。サイコロを $n$ 回投げて出た目の和を5で割った余りが $k$ になる確率を $p_n (k)$ とする。
(1) $p_{n +1}(0), \cdots, p_{n +1}(4)$ を $p_n (0), \cdots, p_n (4)$ を用いて表せ。
(2) $p_n (0), \cdots, p_n (4)$ の最大値を $M_n$ 、最小値を $m_n$ とするとき、次の(イ)、(ロ)が成立することを示せ。
(イ) $\displaystyle m_n \leqq \frac{1}{5} \leqq M_n$
(ロ) 任意の $k,l \ (0 \leqq k,l \leqq 4)$ に対し、 $p_{n +1}(k) -p_{n +1}(l) \leqq \displaystyle \frac{1}{6} \, (M_n -m_n)$
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n (k)$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

2000年前期京大理系第6問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

2000年前期京大理系第6問その2 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

$M_n, \ m_n$ は $p_n (0), \cdots , p_n (4)$ のいずれかなので、小問(2)(ロ)の結果により、
\begin{equation}
0 \leqq M_n -m_n \leqq \frac{1}{6}\, (M_{n -1} -m_{n -1})
\end{equation}が成り立ちます。
これを繰り返し、
\begin{equation}
0 \leqq M_n -m_n \leqq \left( \frac{1}{6} \right)^{n -2} (M_2 -m_2) = \left( \frac{1}{6} \right)^n \tag{4}
\end{equation}を得ます。
なお、1,2回目の出目の和を5で割った余りを表に纏めると(行が1回目の出目、列が2回目の出目)
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
6 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
\end{array}となり、
\begin{eqnarray}
p_2 (2) &=& \frac{8}{36} \\
p_2 (k) &=& \frac{7}{36} \quad (k = 0,1,3,4)
\end{eqnarray}となるので、
\begin{eqnarray}
M_2 &=& \frac{8}{36} \\
m_2 &=& \frac{7}{36}
\end{eqnarray}です。

式(4)で、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{6} \right)^n = 0
\end{equation}なので
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (M_n -m_n) = 0 \tag{5}
\end{equation}を得ます。
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する

小問(2)(イ)の結果を
\begin{eqnarray}
0 & \leqq & \frac{1}{5} -m_n & \leqq & M_n -m_n \\
0 & \geqq & \frac{1}{5} -M_n & \geqq & m_n -M_n
\end{eqnarray}と変形し、式(5)を用いると、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{5} -m_n \right) &=& 0 \\
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{5} -M_n \right) &=& 0
\end{eqnarray}すなわち
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} m_n &=& \frac{1}{5} \tag{6} \\
\lim_{n \to \infty} M_n &=& \frac{1}{5} \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する

そもそも
\begin{equation}
m_n \leqq p_n (k) \leqq M_n
\end{equation}なので、式(6), (7)により
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} p_n (k) = \frac{1}{5}
\end{equation}となります。
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する

解説

小問(2)より誘導に乗って極限を求めています。
冒頭にも書いた通り、 $M_n, \ m_n$ は $p_n (0), \cdots, p_n(4)$ のいずれかであるので、小問(2)(ロ)を再帰的に用いることができます。
なお、本問では $p_1 (k)$ は定義されていないので、本文ではわざわざ各 $p_2 (k)$ を算出しています。定義を $n = 1$ に拡張する方がすっきりします。
小問(2)(イ)の結果も併用して、はさみうちの原理を連発すれば、求める極限を得ることができます。