2000年前期京大理系第6問その1

$n,k$ は整数で、 $n \geqq 2, \ 0 \leqq k \leqq 4$ とする。サイコロを $n$ 回投げて出た目の和を5で割った余りが $k$ になる確率を $p_n (k)$ とする。
(1) $p_{n +1}(0), \cdots, p_{n +1}(4)$ を $p_n (0), \cdots, p_n (4)$ を用いて表せ。
(2) $p_n (0), \cdots, p_n (4)$ の最大値を $M_n$ 、最小値を $m_n$ とするとき、次の(イ)、(ロ)が成立することを示せ。
(イ) $\displaystyle m_n \leqq \frac{1}{5} \leqq M_n$
(ロ) 任意の $k,l \ (0 \leqq k,l \leqq 4)$ に対し、 $p_{n +1}(k) -p_{n +1}(l) \leqq \displaystyle \frac{1}{6} \, (M_n -m_n)$
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n (k)$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

サイコロを $n$ 回投げて出た目の和を5で割った余り $R_n$ と $n +1$ 回目の出目に対する $R_{n +1}$ の値は、次の表の通りです。
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
R_n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ \hline
\end{array}
各出目の確率が等しく1/6であることから、
\begin{eqnarray}
p_{n +1}(0) &=& \frac{1}{6} \, p_n (0) +\frac{1}{6} \, p_n (1) +\frac{1}{6} \, p_n (2) +\frac{1}{6} \, p_n (3) +\frac{1}{3} \, p_n (4) \\
p_{n +1}(1) &=& \frac{1}{3} \, p_n (0) +\frac{1}{6} \, p_n (1) +\frac{1}{6} \, p_n (2) +\frac{1}{6} \, p_n (3) +\frac{1}{6} \, p_n (4) \\
p_{n +1}(2) &=& \frac{1}{6} \, p_n (0) +\frac{1}{3} \, p_n (1) +\frac{1}{6} \, p_n (2) +\frac{1}{6} \, p_n (3) +\frac{1}{6} \, p_n (4) \\
p_{n +1}(3) &=& \frac{1}{6} \, p_n (0) +\frac{1}{6} \, p_n (1) +\frac{1}{3} \, p_n (2) +\frac{1}{6} \, p_n (3) +\frac{1}{6} \, p_n (4) \\
p_{n +1}(4) &=& \frac{1}{6} \, p_n (0) +\frac{1}{6} \, p_n (1) +\frac{1}{6} \, p_n (2) +\frac{1}{3} \, p_n (3) +\frac{1}{6} \, p_n (4)
\end{eqnarray}