2023年京大理系第3問 - 数式で独楽する

$n$ を自然数とする。1個のさいころを $n$ 回投げ、出た目を順に $X_1, X_2, \cdots, X_n$ とし、 $n$ 個の積 $X_1 X_2 \cdots X_n$ を $Y$ とする。
(1) $Y$ が5で割り切れる確率を求めよ。
(2) $Y$ が15で割り切れる確率を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

$n$ 回投げた出目に1回でも5が現れると、 $Y$ は5で割り切れます。
全く5が出ない確率は $\displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^n$ なので、求める確率は、
\begin{equation}
1 -\left( \frac{5}{6} \right)^n
\end{equation}です。

小問(2)の解答例

$Y$ が

5で割り切れる事象を $Q$
3で割り切れる事象を $T$

とします。15で割り切れる事象は $Q \cap T$ です。

さて、 $n$ 回投げた出目に1回でも3か6が現れると、 $Y$ は3で割り切れます。
3と6が全く出ない確率は
\begin{equation}
P \left( \overline{T} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^n
\end{equation}なので、
3で割り切れる確率は
\begin{equation}
P(T) = 1 -\left( \frac{2}{3} \right)^n
\end{equation}です。

また、3, 5, 6が全く出ない、つまり $Y$ が3でも5でも割り切れない確率は、
\begin{equation}
P \left( \overline{Q} \cap \overline{T} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^n
\end{equation}です。

ここまでをまとめると、次の表のようになります。表中、(*1)～(*3)は空欄です。
\begin{array}{|c|cc|c|}
\hline
& Q & \overline{Q} & \mathrm{sum} \\ \hline \hline
T & (*1) & (*2) & \displaystyle 1 -\left( \frac{2}{3} \right)^n \\
\overline{T} & (*3) & \displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^n & \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^n \\ \hline
\mathrm{sum} & \displaystyle 1 -\left( \frac{5}{6} \right)^n & \displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^n & 1 \\ \hline
\end{array}

空欄(*2)と(*3)を埋めると次のようになります。
\begin{array}{|c|cc|c|}
\hline
& Q & \overline{Q} & \mathrm{sum} \\ \hline \hline
T & *1 & \displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^n -\left( \frac{1}{2} \right)^n & \displaystyle 1 -\left( \frac{2}{3} \right)^n \\
\overline{T} & \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^n -\left( \frac{1}{2} \right)^n & \displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^n & \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^n \\ \hline
\mathrm{sum} & \displaystyle 1 -\left( \frac{5}{6} \right)^n & \displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^n & 1 \\ \hline
\end{array}

したがって、残りの空欄(*1)、すなわち求める確率は、
\begin{equation}
P(Q \cap T) = 1 +\left( \frac{1}{2} \right)^n -\left( \frac{2}{3} \right)^n -\left( \frac{5}{6} \right)^n
\end{equation}となります。