「複利」とは、
元本＋利息を次の年の元本にする
という利息のつけ方です。
元本を1、利率をとするとき、元本と利子の合計は、
1年後で
\begin{equation}
1+r
\end{equation}
です。ここまでは単利と同じです。
2年後で
\begin{eqnarray}
1+r+r(1+r)&=&(1+r)(1+r)\\
&=&(1+r)^2
\end{eqnarray}
3年後で
\begin{eqnarray}
(1+r)^2+r(1+r)^2&=&(1+r)^2(1+r)\\
&=&(1+r)^3
\end{eqnarray}
となります。
ということは、年後は
\begin{equation}
(1+r)^n
\end{equation}
になりそうです。
この仮定のもと、年後が
\begin{equation}
(1+r)^{n+1}
\end{equation}
となれば、この仮定は正しいということになります。
やってみましょう。
\begin{eqnarray}
(1+r)^n+r(1+r)^n&=&(1+r)^r(1+r)\\
&=&(1+r)^{n+1}
\end{eqnarray}
これで、先ほどの仮定は正しいことが分かりました。
数学的帰納法 - 数式で独楽する
まとめます。
\begin{array}{cc}
元本 & 1\\
1年 & 1+r\\
2年 & (1+r)^2\\
\vdots & \vdots \\
n年 & (1+r)^n
\end{array}
となります。
