$n$を自然数とする。$n$個の箱すべてに
の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から並べて$n$桁の数を$X$を作る。このとき、$X$が3で割り切れる確率を求めよ。
解答例
$n$桁の数$X$を$X_n$とします。
$X_n$を3で割った余りが0(割り切れる), 1, 2となる確率をそれぞれとします。
このとき、
\begin{eqnarray}
&& p_n + q_n + r_n = 1 \tag{1} \\
&& p_1 = \frac{1}{5} , \quad q_1=r_1=\frac{2}{5} \tag{2}
\end{eqnarray}です。
$X_n$を3で割った余りと$n+1$枚目に引くカード別に、$X_{n+1}$を3で割った余りを纏めると、
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
X_n & \fbox{1} & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{5} \\ \hline
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
p_{n+1} &=& \frac{1}{5} p_n + \frac{2}{5} q_n + \frac{2}{5} r_n \tag{3} \\
q_{n+1} &=& \frac{2}{5} p_n + \frac{1}{5} q_n + \frac{2}{5} r_n \tag{4} \\
r_{n+1} &=& \frac{2}{5} p_n + \frac{2}{5} q_n + \frac{1}{5} r_n \tag{5}
\end{eqnarray}を得ます。
式(1), (3)より、
\begin{eqnarray}
p_{n+1} &=& \frac{1}{5} p_n + \frac{2}{5} (1 - p_n) \\
&=& -\frac{1}{5} p_n +\frac{2}{5}
\end{eqnarray}となります。2項間漸化式ができました。
さらに式(2)も用いると、
\begin{eqnarray}
p_n - \frac{1}{3} &=& -\frac{1}{5} \left( p_{n -1} - \frac{1}{3} \right) \\
& \vdots & \\
&=& \left( -\frac{1}{5} \right)^{n -1} \left( p_1 -\frac{1}{3} \right) \\
&=& -\frac{2}{15} \left( -\frac{1}{5} \right)^{n -1}
\end{eqnarray}つまり、
\begin{equation}
p_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{5} \right)^n
\end{equation}を得ます。
おまけ
式(2), (4), (5)より、
\begin{eqnarray}
q_{n+1} - r_{n+1} &=& -\frac{1}{5} (q_n - r_n) \\
& \vdots & \\
&=& \left( -\frac{1}{5} \right)^n (q_1- r_1) \\
&=& 0
\end{eqnarray}つまり、
\begin{equation}
q_n = r_n
\end{equation}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
q_n = r_n &=& \frac{1 - p_n}{2} \\
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{5} \right)^n \right) \\
&=& \frac{1}{3} -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{5} \right)^n
\end{eqnarray}を得ます。
解説
この問題のポイントは、
- 3の倍数となる条件
- 3で割った余りは0, 1, 2しかない
ということを踏まえれば、漸化式を立てることは容易です。
漸化式を立ててしまえば、あとは計算間違いに注意して解くだけです。
なお、漸化式を立てた後、別の手法で解けます。
京大 2017年 理系 第6問 別解 - 数式で独楽する
