直交行列
転置行列が元の行列の逆行列となる行列を、「直交行列」といいます。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する
行列が直交行列の場合、
\begin{equation}
A^t = A^{-1}
\end{equation}を満たします。
書き換えると、
\begin{eqnarray}
A^t A &=& I \tag{1}\\
AA^t &=& I \tag{2}
\end{eqnarray}です。$I$は単位行列です。
行列$A$を
\begin{equation}
A = (\boldsymbol{a}_1 \ \boldsymbol{a}_2 \ \cdots \ \boldsymbol{a}_n)
\end{equation}とします。各は成分を縦に並べた列ベクトルで、それを横に並べて行列にしています。
転置行列は、
\begin{equation}
A^t = \left( \begin{array}{c} {\boldsymbol{a}_1}^t \\ {\boldsymbol{a}_2}^t \\ \vdots \\ {\boldsymbol{a}_n}^t \end{array} \right)
\end{equation}です。各は成分を横に並べた行ベクトルです。
式(1)は、
\begin{equation}
A^t A = \left( \begin{array}{c} {\boldsymbol{a}_1}^t \\ {\boldsymbol{a}_2}^t \\ \vdots \\ {\boldsymbol{a}_n}^t \end{array} \right)
(\boldsymbol{a}_1 \ \boldsymbol{a}_2 \ \cdots \ \boldsymbol{a}_n)
= \left( \begin{array}{cccc}
1 &&& 0 \\
& 1 && \\
&& \ddots & \\
0 &&& 1
\end{array} \right) \tag{3}
\end{equation}と書けます。
式(3)の成分を比較すると、
\begin{equation}
{\boldsymbol{a}_i}^t \boldsymbol{a}_j =\delta_{ij} = \left \{ \begin{array}{cc}
1 & (i=j) \\
0 & (i \ne j)
\end{array} \right. \tag{3}
\end{equation}です。
式の左辺は、
- ベクトル
の内積であり、
- 大きさは1
- 互いに直交する
ことを示しています。
互いに直交するベクトルを並べて行列を作っているところから、「直交行列」というのでしょうか。
式(2)については稿を改めます。
直交行列 その2 - 数式で独楽する
補足
式(3)の左辺について説明します。
\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{array} \right) , \quad
\boldsymbol{v} = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right)
\end{equation}なる列ベクトルに対し、
\begin{eqnarray}
{\boldsymbol{u}}^t \boldsymbol{v} &=& (u_1 \ u_2 \ \cdots \ u_n)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right) \\
&=& u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n
\end{eqnarray}となります。これは、ベクトルの内積そのものです。
