こちらの記事では、
\begin{equation}
r\ll 1
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
(1+r)^n \simeq 1+nr
\end{equation}となることを書きました。
ここでは、それを少し掘り下げてみます。
先の記事ではとしましたが、この記事では
とします。
違う文字を使っても、本質は変わりません。
ある文字を、別の文字に置き換えるだけです。
\begin{equation}
(1+x)^n
\end{equation}を、展開していきます。
つまり、バラバラにしていきます。
\begin{eqnarray}
(1+x)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r x^r \\
&=& \sum_{r=0}^n \frac{n!}{r! (n-r)!} x^r \\
&=& 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}
+ \cdots + nx^{n-1}+x^n
\end{eqnarray}
この式で、が十分に小さい、すなわち
\begin{equation}
x \ll 1
\end{equation}であれば、以降の項は更に小さくなり、無視することができるようになります。
例えば
\begin{equation}
x<1/100=10^{-2}
\end{equation}であれば
\begin{equation}
x^2<1/10000=10^{-4}
\end{equation}です。
つまり、
\begin{equation}
(1+x)^n \simeq 1+nx
\end{equation}となるのです。
式の1行目では、二項定理を用いて展開しています。
二項定理については、別の記事で紹介したいと思います。
二項定理 - 数式で独楽する
式の途中に出てくる
\begin{equation}
\sum
\end{equation}は、和を表す記号です。
ギリシャ文字のΣ(シグマ)を使っています。
\begin{equation}
\sum_{r=0}^n
\end{equation}とあれば、
Σの右側で
\begin{equation}
r=0,1,2,\cdots , n
\end{equation}として和をとりなさい、すなわち足し算しなさい
ということです。
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k=1+2+\cdots +n
\end{equation}は1からまでの和をとることを表します。
