\begin{equation}
{}_n C_0 +\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{{}_n C_n}{n +1} = \frac{2^{n +1} -1}{n +1}
\end{equation}
「二項係数割る整数」の和です。
二項定理
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r \, a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_0 a^n+{}_n C_1 \, a^{n-1} b+{}_n C_2 \, a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_n \, b^n
\end{eqnarray}において
\begin{eqnarray}
a &=& 1 \\
b &=& x
\end{eqnarray}とすると
\begin{equation}
(1 +x)^n = {}_n C_0 +{}_n C_1 \, x +{}_n C_2 \, x^2 +\cdots +{}_n C_n \, x^n \tag{1}
\end{equation}となります。
式(1)の両辺を積分すると冒頭の式が得られます。
\begin{eqnarray}
\int_0^1 (1 +x)^n \, dx &=& \int_0^1 ({}_n C_0 +{}_n C_1 \, x +{}_n C_2 \, x^2 +\cdots +{}_n C_n \, x^n) \, dx \\
\left[ \frac{(1 +x)^{n +1}}{n +1} \right]_0^1 &=& \left[ {}_n C_0 \, x +\frac{{}_n C_1 \, x^2}{2} +\cdots +\frac{{}_n C_n \, x^{n +1}}{n +1} \right]_0^1 \\
\frac{2^{n +1} -1}{n +1} &=& {}_n C_0 +\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{{}_n C_n}{n +1}
\end{eqnarray}
