1からまでの自然数の和
を、また別の方法で求めていきます。
まず、見ていくのは次の式です。
\begin{equation}
(k+1)^2=k^2+2k+1
\end{equation}
和の2乗を展開した式です。因数分解でも頻繁に登場します。
別の見方をすると、この式はkに何を代入しても成立します。
このような式を「恒等式」といいます。
恒(つね)に等(ひと)しい
という意味です。
両辺からを引いてみます。
\begin{equation}
(k+1)^2-k^2=2k+1
\end{equation}
この式において、
\begin{equation}
k=1,2,\cdots ,n
\end{equation}とし、等号の左側、すなわち左辺と、等号の右側、すなわち右辺をそれぞれ全て加えていきます。「辺々相加える」という言い方をします。
左辺の和を見ていきましょう。
\begin{equation}
(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+\cdots +\{ n^2-(n-1)^2 \} +\{ (n+1)^2-n^2 \}=(n+1)^2-1
\end{equation}
式中、は、次の引き算で消えてしまうことに着目してください。
最後に残るのは、と1だけになります。
続いて右辺です。
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n (2k+1) &=& 2 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 \\
&=& 2 \sum_{k+1}^n k + n
\end{eqnarray}
定数は和の記号の外に括り出せます。
和の記号の中の定数ですが、を1から
まで変化させても定数なので、定数の
倍となります。
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n 1=n
\end{equation}です。
まとめると、
\begin{equation}
(n+1)^2-1=2 \sum_{k=1}^n k +n
\end{equation}です。
式を整理していきます。
\begin{eqnarray}
n^2+2n+1-1 &=& 2 \sum_{k=1}^n k+n \\
n^2+2n &=& 2 \sum_{k=1}^n k+n \\
n^2+n &=& 2 \sum_{k=1}^n k \\
n(n+1) &=& 2 \sum_{k=1}^n k
\end{eqnarray}
ゆえに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}となります。
