2003年後期京大理系第5問 - 数式で独楽する

極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2n} (-1)^k \left( \frac{k}{2n} \right)^{100}$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
S = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2n} (-1)^k \left( \frac{k}{2n} \right)^{100}
\end{equation}とします。

2項ずつまとめ、 $(-1)^k$ を消します。
\begin{equation}
S = \lim_{n \to \infty} \sum_{l = 1}^n \left \{ -\left( \frac{2l -1}{2n} \right)^{100} +\left( \frac{2l}{2n} \right)^{100} \right \}
\end{equation}

ここで、
\begin{equation}
a^{100} -b^{100} = (a -b)(a^{99} +a^{98} b +\cdots +b^{99})
\end{equation}を利用します。
\begin{equation}
a -b = \frac{1}{2n}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
S &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{l = 1}^n \frac{1}{2n} \left \{ \left( \frac{2l}{2n} \right)^{99} +\left( \frac{2l}{2n} \right)^{98} \frac{2l -1}{2n} +\cdots +\left( \frac{2l -1}{2n} \right)^{99} \right \} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \sum_{l = 1}^n \frac{1}{2n} \left \{ \left( \frac{l}{n} \right)^{99} +\left( \frac{l}{n} \right)^{98} \left( \frac{l}{n} -\frac{1}{2n} \right) +\cdots +\left( \frac{l}{n} -\frac{1}{2n} \right)^{99} \right \}
\end{eqnarray}となります。

ここで
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sum_{l = 1}^n \frac{1}{n} \, f\left( \frac{l}{n} \right) = \int_0^1 f(x) \, dx
\end{equation}を用います。
定積分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0
\end{equation}も併せて用いると、求める値を得ます。
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} \int_0^1 100x^{99} \, dx \\
&=& \frac{1}{2} \biggl[ \ x^{100} \ \biggr]_0^1 \\
&=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}