本稿では、
- 第1余弦定理
について見ていきます。
三角形の1辺の長さは、両端の角の大きさと他の2辺の長さで表せる
というものです。すなわち、
三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cに相対する辺の長さをそれぞれa, b, cとするとき、
\begin{eqnarray}
a &=& c \cos B + b \cos C \\
b &=& a \cos C + c \cos A \\
c &=& b \cos A + a \cos B
\end{eqnarray}
となるというものです。
鋭角三角形の場合
3つの角が全て鋭角の三角形を、「鋭角三角形」といいます。
「鋭角」とは90º未満の角のことです。
頂点Aから辺BCに垂線を下ろし、足をDとします。
図より明らかにBC=BD+CDです。
ここで、
\begin{eqnarray}
\mathrm{BD} &=& c \cos B \\
\mathrm{CD} &=& b \cos C
\end{eqnarray}
なので、
\begin{equation}
a = c \cos B + b \cos C
\end{equation}となります。
直角三角形の場合
直角三角形は、角の1つが直角となっている三角形です。
角Cを直角としても、一般性を失いません。
このとき、D=Cとなります。
また、
\begin{equation}
\cos C = 0
\end{equation}であるので、
\begin{equation}
a = c \cos B + b \cos C
\end{equation}が成り立ちます。
鈍角三角形の場合
1つの角が鈍角となっている三角形を、「鈍角三角形」といいます。
「鈍角」は90ºを超え、180ºに満たない角をいいます。
角Cを鈍角としても、一般性を失いません。
鋭角三角形の場合と同様に、頂点Aから辺BCに垂線を下ろし、足をDとします。
このとき、BC=BD-CDです。
ここで、
\begin{eqnarray}
\mathrm{BD} &=& c \cos B \\
\mathrm{CD} &=& -b \cos C
\end{eqnarray}
なので、
\begin{equation}
a = c \cos B + b \cos C
\end{equation}となります。
角Cが鈍角なので、
\begin{equation}
\cos C < 0
\end{equation}であることに注意しましょう。
他の辺についても同様にして求めることができます。
形式上、
\begin{eqnarray}
a & \to & b & \to & c & \to & a \\
A & \to & B & \to & C & \to & A
\end{eqnarray}
と順番に入れ替えていっても求められます。
まとめ
以上のことから、三角形ABCの1辺の長さは他の2辺と両端の角を用いて、
\begin{eqnarray}
a &=& c \cos B + b \cos C \\
b &=& a \cos C + c \cos A \\
c &=& b \cos A + a \cos B
\end{eqnarray}
と表すことができます。
