△ABCは鋭角三角形であり、
とする。また△ABCの外接円の半径は1であるとする。
(1) △ABCの内心をPとするとき、∠BPCを求めよ。
(2) △ABCの内接円の半径$r$の取りうる値の範囲を求めよ。
小問(1)の解答例
内心Pは、内角の二等分線の交点です。
内角A, B, Cの大きさを$A, B, C$とすると、△BPCについて
\begin{equation}
\angle \mathrm{BPC} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \pi
\end{equation}が成り立ちます。
一方、
\begin{eqnarray}
A + B + C &=& \pi \\
A &=& \frac{\pi}{3}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BPC} &=& \pi - \frac{1}{2} \, (B+C) \\
&=& \pi - \frac{1}{2} \, (\pi - A) \\
&=& \pi - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \, \pi \\
&=& \frac{2}{3} \, \pi
\end{eqnarray}を得ます。
小問(2)の解答例
外接円の半径は$R=1$なので、正弦定理により、
\begin{equation}
\mathrm{BC} = 2R \sin A = 2 \cdot 1 \cdot \sin \frac{\pi.}{3} = \sqrt{3}
\end{equation}となります。
正弦定理 - 数式で独楽する
辺BCを固定すると、点Aは外接円の円周上のBC間の長い方を動くことになります。
内接円の半径$r$が最大となるのは、点Aが弦BCから最も離れたときとなります。
このとき、△ABCは一辺の正三角形となります。*1
面積は
\begin{equation}
S_\mathrm{max} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}
\end{equation}です。
このときの内接円の半径との関係は
\begin{equation}
3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \, r_\mathrm{max} = S_\mathrm{max} =\frac{3 \sqrt{3}}{4}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
r_\mathrm{max} = \frac{1}{2}
\end{equation}を得ます。*2
一方、△ABCは鋭角三角形なので、直角三角形となるときの面積と内接円の半径
を考えます。
AB=1なので*3
\begin{eqnarray}
S_\mathrm{min} &=& \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2} \, \left( 1+2+\sqrt{3} \right) r_\mathrm{min} &=& S_\mathrm{min} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\therefore \quad r_\mathrm{min} &=& \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \left( 3-\sqrt{3} \right)}{6} = \frac{3\sqrt{3}-3}{6} \\
&=& \frac{\sqrt{3}-1}{2}
\end{eqnarray}
以上より、内接円の半径$r$の値が取りうる範囲は、
\begin{equation}
\frac{\sqrt{3}-1}{2} < r \leqq \frac{1}{2}
\end{equation}となります。
解説
小問(1)は、内心と内角の二等分線の関係を理解していれば容易です。
小問(2)の方も、内接円の半径の最大値を求めるのは容易です。
辺BCの長さも簡単に求められます。
「△ABCが鋭角三角形」という条件が内接円の半径に制限を与える、ということを見落としてしまうかもしれません。
