本稿では、
- 第2余弦定理
について見ていきます。
三角形の1辺の長さは、相対する角の大きさと他の2辺の長さで表せる
というものです。すなわち、
三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cに相対する辺の長さをそれぞれa, b, cとするとき、
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2-2bc \cos A
\end{equation}となるというものです。
他の辺についても、文字を順繰りに入れ替えれば示すことができます。
第1余弦定理をおさらいします。
第1余弦定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
a &=& b \cos C + c \cos B \\
b &=& c \cos A + a \cos C \\
c &=& a \cos B + b \cos A
\end{eqnarray}
というものです。
第1式の両辺をa倍、
第2式の両辺を-b倍、
第3式の両辺を-c倍します。
\begin{eqnarray}
&& a^2 &=& && ab \cos C && &+& ca \cos B \\
&-& b^2 &=& &-& ab \cos C &-& bc \cos A &&\\
&-& c^2 &=& && &-& bc \cos A &-& ca \cos B
\end{eqnarray}
辺々、相加えます。
すると、右辺の1列目と3列目が相殺されます。
\begin{equation}
a^2-b^2-c^2=-2bc \cos A
\end{equation}となります。
式を整理すると、
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2-2bc \cos A
\end{equation}となります。
三角形の1辺の長さを、相対する角の大きさと他の2辺の長さで表すことができました。
