「メネラウスの定理」
三角形ABCについて、
BC上の点P、AC上の点Q、AB上の点Rが一直線上にあるとき、\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}
メネラウスの定理は、三角形と直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
知っていれば、計算が速くなることがあります。
では、証明にいきます。本稿では
メネラウスの定理 - 数式で独楽する
とは別の方法、ベクトルを用いて証明していきます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。さらに、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& p \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} = p \left( \vec{c} - \vec{b} \right) \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& (1 -q) \, \vec{c} \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{AR}} &=& r \, \vec{b} \tag{3}
\end{eqnarray}とします。
これより、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1 -p) \, \vec{b} + p \, \vec{c} \tag{4}
\end{equation}を得ます。
一方、3点P, Q, Rは同一直線上にあるので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{RP}} &=& s \, \overrightarrow{\mathrm{RQ}} \\
&=& s \, \left( \overrightarrow{\mathrm{AQ}} - \overrightarrow{\mathrm{AR}} \right)
\end{eqnarray}と書けます。
したがって、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& (1 -s) \, \overrightarrow{\mathrm{AR}} + s \, \overrightarrow{\mathrm{AQ}} \\
&=& (1 -s)r \, \vec{b} + s(1 -q) \, \vec{c} \tag{5}
\end{eqnarray}を得ます。
ベクトルは一次独立なので、式(4), (5)より
\begin{eqnarray}
1 -p &=& (1 -s)r \\
p &=& s(1 -q)
\end{eqnarray}が成り立ちます。
これより、
\begin{eqnarray}
q &=& 1 - \frac{p}{s} \\
r &=& \frac{1 -p}{1 -s}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\frac{q}{1 -q} \frac{r}{1 -r}
&=& \cfrac{\ 1 - \cfrac{p}{s} \ }{\cfrac{p}{s}} \cfrac{\cfrac{1 -p}{1 -s}}{\ 1 - \cfrac{1 -p}{1 -s} \ } \\
&=& \frac{s -p}{p} \frac{1 -p}{p -s} \\
&=& - \frac{1 -p}{p}
\end{eqnarray}となります。
整理して、
\begin{equation}
\frac{p}{1 -p} \frac{q}{1 -q} \frac{r}{1 -r} = -1 \tag{6}
\end{equation}を得ます。
式(1)~(3)を考慮すると、式(6)は、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}となります。
なお、です。
