直角三角形の斜辺の2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい
というものです。
角Cが直角の直角三角形ABCの3辺の長さについて、
\begin{equation}
\mathrm{AB}^2=\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2
\end{equation}が成り立つ、ということです。
証明は数多くあります。
本稿では、三角形の相似を用います。
補助線を1本引きます。
直角の頂点Cから斜辺ABに垂線を下ろし、足をDとします。
△ABCと△ACDについて、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{C} &=& \angle \mathrm{D} &=& \angle R \\
\angle \mathrm{A} &=& \angle \mathrm{A} &&
\end{eqnarray}
となります。
2角が相等しいので、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{ACD}
\end{equation}となります。
同様に、△ABCと△CBDについて、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{C} &=& \angle \mathrm{D} &=& \angle R \\
\angle \mathrm{B} &=& \angle \mathrm{B} &&
\end{eqnarray}
となります。
2角が相等しいので、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{CBD}
\end{equation}となります。
相似である、ということは、対応する辺の比が等しくなります。
△ABC∽△ACDより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}
\end{equation}です。整理すると、
\begin{equation}
\mathrm{AD} = \frac{\mathrm{AC}^2}{\mathrm{AB}} \ \cdots \ (1)
\end{equation}となります。
同様に、△ABC∽△CBDより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}
\end{equation}です。整理すると、
\begin{equation}
\mathrm{BD} = \frac{\mathrm{BC}^2}{\mathrm{AB}} \ \cdots \ (2)
\end{equation}となります。
AD+BD=ABなので、(1)(2)より、
\begin{equation}
\mathrm{AB}=\frac{\mathrm{AC}^2}{\mathrm{AB}}+\frac{\mathrm{BC}^2}{\mathrm{AB}}
\end{equation}となります。
分母を払うと、
\begin{equation}
\mathrm{AB}^2=\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2
\end{equation}となります。
