2003年前期京大理系第3問 - 数式で独楽する

四面体OABCは次の2つの条件
(i) OA⊥BC, OB⊥AC, OC⊥AB
(ii) 4つの面の面積はすべて等しい。
を満たしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
&\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}, & \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}, & \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c} \\
&\mathrm{OA} = a , & \mathrm{OB} = b, & \mathrm{OC} = c
\end{eqnarray}とします。

条件(i)は
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \left( \vec{b} -\vec{c} \right) &=& 0 \\
\vec{b} \cdot \left( \vec{c} -\vec{a} \right) &=& 0 \\
\vec{c} \cdot \left( \vec{a} -\vec{b} \right) &=& 0
\end{eqnarray}と書けます。
したがって、
\begin{equation}
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} \tag{1}
\end{equation}を得ます。
一方、内積は
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{ccl}
\vec{a} \cdot \vec{b} &=& ab \cos \angle \mathrm{AOB} \\
\vec{b} \cdot \vec{c} &=& bc \cos \angle \mathrm{BOC} \\
\vec{c} \cdot \vec{a} &=& ca \cos \angle \mathrm{COA}
\end{array} \right. \tag{2}
\end{equation}なので、式(1), (2)より
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{ccl}
a \cos \angle \mathrm{AOB} &=& c \cos \angle \mathrm{BOC} \\
b \cos \angle \mathrm{BOC} &=& a \cos \angle \mathrm{COA} \\
c \cos \angle \mathrm{COA} &=& b \cos \angle \mathrm{AOB}
\end{array} \right. \tag{3}
\end{equation}を得ます。

さて、頂点Oを含む3面の面積は
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{ccl}
\triangle \mathrm{OAB} &=& \displaystyle \frac{1}{2} \, ab \sin \angle \mathrm{AOB} \\
\triangle \mathrm{OBC} &=& \displaystyle \frac{1}{2} \, bc \sin \angle \mathrm{BOC} \\
\triangle \mathrm{OCA} &=& \displaystyle \frac{1}{2} \, ca \sin \angle \mathrm{COA}
\end{array} \right. \tag{4}
\end{equation}です。
条件(ii)より
\begin{equation}
\mathrm{\triangle OAB = \triangle OBC = \triangle OCA}
\end{equation}なので、式(4)より
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{ccl}
a \sin \angle \mathrm{AOB} &=& c \sin \angle \mathrm{BOC} \\
b \sin \angle \mathrm{BOC} &=& a \sin \angle \mathrm{COA} \\
c \sin \angle \mathrm{COA} &=& b \sin \angle \mathrm{AOB}
\end{array} \right. \tag{5}
\end{equation}を得ます。

頂点Oを挟む角のいずれかが直角である場合、
式(1), (2)より
\begin{equation}
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0
\end{equation}です。
つまり、他の2角も直角となります。
したがって、式(5)より
\begin{equation}
a = b = c
\end{equation}となります。
このとき△ABCは一辺 $\sqrt{2} \, a$ の正三角形となります。

頂点Oを含む面の面積は $\displaystyle \frac{1}{2} \, a^2$
△ABCの面積は $\displaystyle \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \, a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \,\sqrt{3} \, a = \frac{\sqrt{3}}{2} \, a^2$

です。これは、条件(ii)を満たしません。

頂点Oを挟む角は直角でないので、式(3)を式(5)で割ることができ、
\begin{equation}
\tan \angle \mathrm{AOB} = \tan \angle \mathrm{BOC} = \tan \angle \mathrm{COA}
\end{equation}を得ます。
角は全て0°～180°の間なので
\begin{equation}
\mathrm{\angle AOB = \angle BOC = \angle COA} \tag{6}
\end{equation}となります。
式(1), (2), (6)より、
\begin{equation}
ab = bc = ca
\end{equation}となり、
\begin{equation}
a = b = c
\end{equation}を得ます。
つまり、
\begin{equation}
\mathrm{OA = OB = OC} \tag{7}
\end{equation}です。