京大 2007年理系第4問別解 - 数式で独楽する

点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。△PQRの外心が点Oと一致するとき、△ABCはどのような三角形か。

解答例
解説

解答例

別解です。
京大 2007年理系第4問 - 数式で独楽する

f:id:toy1972:20211029070828p:plain:w300
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& 5\vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& 5\vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& 5\vec{c}
\end{eqnarray}とします。
\begin{equation}
\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b} \right| = |\vec{c}|
\end{equation}です。

このとき、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& 3\vec{a} +2\vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& 3\vec{b} +2\vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& 3\vec{c} +2\vec{a}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OP}^2 &=& 9|\vec{a}|^2 +12\vec{a} \cdot \vec{b} +4\left| \vec{b} \right|^2 \\
\mathrm{OQ}^2 &=& 9 \left| \vec{b} \right|^2 +12\vec{b} \cdot \vec{c} +4|\vec{c}|^2 \\
\mathrm{OR}^2 &=& 9|\vec{c}|^2 +12\vec{c} \cdot \vec{a} +4|\vec{a}|^2
\end{eqnarray}となります。
OP = OQ = ORより、
\begin{equation}
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} \tag{1}
\end{equation}を得ます。

△ABCの内角A, B, Cの大きさをそれぞれ $A,B,C$ とすると、円周角の定理により
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BOC} &=& 2A \\
\angle \mathrm{COA} &=& 2B \\
\angle \mathrm{AOB} &=& 2C
\end{eqnarray}なので、
円周角の定理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
|\vec{a}| \left| \vec{b} \right| \cos 2C = \left| \vec{b} \right| |\vec{c}| \cos 2A = |\vec{c}||\vec{a}| \cos 2B
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\cos 2A = \cos 2B = \cos 2C
\end{equation}となります。

正弦定理 - 数式で独楽する

△OBQについては、以下が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{BQ} &=& \frac{4}{5} \, R \sin A \\
\mathrm{OQ}^2 &=& \mathrm{OB}^2 +\mathrm{BQ}^2 -2 \mathrm{OB} \cdot \mathrm{BQ} \cos \left( \frac{\pi}{2} -A \right) \\
&=& R^2 +\frac{16}{25} \, R^2 \sin^2 A -\frac{8}{5} \, R^2 \sin^2 A \\
&=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 A \right) R^2
\end{eqnarray}
第2余弦定理 - 数式で独楽する

同様にして、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OR}^2 &=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 B \right) R^2 \\
\mathrm{OP}^2 &=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 C \right) R^2
\end{eqnarray}を得ます。

ここで、△PQRの外心が点Oと一致するとき、
\begin{equation}
\mathrm{OQ = OR = OP}
\end{equation}です。
OQ = ORより、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OQ}^2 &=& \mathrm{OR}^2 \\
\left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 A \right) R^2 &=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 B \right) R^2 \\
\sin^2 A &=& \sin^2 B
\end{eqnarray}です。
$0 < A < \pi, \ 0 < B < \pi$ なので $\sin A > 0, \ \sin B > 0$ です。したがって、
\begin{equation}
\sin A = \sin B
\end{equation}となります。
これより、以下のいずれが成り立ちます。
\begin{eqnarray}
2B &=& 2A \\
2B &=& 2\pi -2A
\end{eqnarray}ただし、 $A +B +C = \pi$ なので、後者は成り立ちません。
よって
\begin{equation}
B = A
\end{equation}を得ます。