直角三角形の斜辺の2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい
というものです。
直角三角形の斜辺の長さを、他の2辺の長さを
とすると、
\begin{equation}
d^2=l^2+r^2
\end{equation}が成り立つ、ということです。
証明は数多くあります。
本稿では、方べき(方冪)の定理を用います。
方べきの定理とは、
円Oとその円周上にない点Pを通る直線との交点をA, Bとすると、
\begin{equation}
\mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = 一定
\end{equation}
というものです。
言い方は色々ありますが、これはそのうちの1つということです。
2点A, Bが一致、つまり直線が円に接していても成り立ちます。
それを踏まえて本題です。
半径の円Oがあります。
円Oの外部の点Aから円Oの接線を引き、接点をB、AB=とします。
また、直線AOを引き、円Oとの交点をC, Dとします。OA=とします。
なお、AOと円Oは接しているので、角Bは直角です。
見方を変えると、
直角三角形OABの頂点Oを中心に、半径OBの円を描いた
とも言えます。
方べきの定理により、
\begin{equation}
(d-r)(d+r)=l^2
\end{equation}が成り立ちます。
左辺を展開して、
\begin{equation}
d^2-r^2=l^2
\end{equation}整理すると、
\begin{equation}
d^2=l^2+r^2
\end{equation}となります。
