2006年後期京大理系第2問別解

$a$ を実数として行列 $A$ を $\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a & 1 -a \\ 1 -a & a \end{array} \right)$ と定める。 $\displaystyle \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ とし、数列 $\{ x_n \}, \, \{ y_n \}$ を次の式で定める。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x_{n -1} \\ y_{n -1} \end{array} \right), \quad n = 1, 2, \cdots
\end{equation}このとき、数列 $\{ x_n \}$ が収束するための $a$ の必要十分条件を求めよ。

解答例
解説

解答例

与式より、
\begin{eqnarray}
x_n &=& a \, x_{n -1} +(1 -a) \, y_{n -1} \tag{1} \\
y_n &=& (1 -a)\, x_{n -1} +a \, y_{n -1} \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(1), (2)を辺々相加えると、
\begin{eqnarray}
x_n +y_n &=& x_{n -1} +y_{n -1} \\
& \vdots & \\
&=& x_0 +y_0 = 1 \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。

また、辺々相引くと
\begin{equation}
x_n -y_n = (2a -1)(x_{n -1} -y_{n -1})
\end{equation}なので
\begin{equation}
x_n -y_n = (2a -1)^n (x_0 -y_0) = (2a -1)^n \tag{4}
\end{equation}となります。

これより、
\begin{eqnarray}
x_n &=& \frac{(2a -1)^n +1}{2} \\
y_n &=& \frac{-(2a -1)^n +1}{2}
\end{eqnarray}を得ます。

よって、数列 $\{ x_n \}$ が収束する必要十分条件は、
\begin{eqnarray}
&& -1 < 2a -1 \leqq 1 \\
& \Leftrightarrow & 0 < 2a \leqq 2 \\
& \Leftrightarrow & 0 < a \leqq 1
\end{eqnarray}となります。

解説

数列の漸化式が行列で記述されているので、連立の漸化式として解いています。解いていく過程が意外と簡単になっています。
2006年後期京大理系第2問 - 数式で独楽する
よりも簡単です。
一般項を出してしまえば、収束条件を求めるのも容易です。

別解がありますが、こちらの方がよほど簡単です。