2006年後期京大理系第2問別解2

$a$ を実数として行列 $A$ を $\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a & 1 -a \\ 1 -a & a \end{array} \right)$ と定める。 $\displaystyle \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ とし、数列 $\{ x_n \}, \, \{ y_n \}$ を次の式で定める。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x_{n -1} \\ y_{n -1} \end{array} \right), \quad n = 1, 2, \cdots
\end{equation}このとき、数列 $\{ x_n \}$ が収束するための $a$ の必要十分条件を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{equation}なので、 $A^n$ を求めます。
行列のべき乗を求める - 数式で独楽する

それにあたり、
\begin{equation}
A \vec{v} = \lambda \vec{v} \quad \left( \vec{v} \ne \vec{0} \right) \tag{1}
\end{equation}なる固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\vec{v}$ を求めます。
式(1)は単位行列 $I$ を用いて
\begin{equation}
(A -\lambda I) \vec{v} = \vec{0}
\end{equation}と変形できます。
$\vec{v} \ne \vec{0}$ なる $\vec{v}$ が存在するための条件は
\begin{equation}
|A -\lambda I| = \left| \begin{array}{cc}
a -\lambda & 1 -a \\
1 -a & a -\lambda
\end{array} \right| = 0
\end{equation}です。つまり
\begin{eqnarray}
(a -\lambda)^2 -(1 -a)^2 &=& 0 \\
(\lambda -1)(\lambda -2a +1) &=& 0
\end{eqnarray}で、固有値は
\begin{equation}
\lambda = 1, 2a -1
\end{equation}となります。

固有値が $\lambda =1$ のとき、
\begin{equation}
(A -\lambda I) \vec{v} = \left( \begin{array}{cc}
a -1 & 1 -a \\
1 -a & a -1
\end{array} \right) \vec{v} = \vec{0}
\end{equation}なので、固有ベクトル
\begin{equation}
\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}を得ます。

固有値が $\lambda = 2a -1$ のとき、
\begin{equation}
(A -\lambda I) \vec{v} = \left( \begin{array}{cc}
1 -a & 1 -a \\
1 -a & 1 -a
\end{array} \right) \vec{v} = \vec{0}
\end{equation}なので、固有ベクトル
\begin{equation}
\vec{v} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{equation}を得ます。

ここで
\begin{equation}
P = \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
P^{-1} &=& \frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\1 & 1 \end{array} \right) \\
P^{-1}AP &=& \left( \begin{array}{cc} 2a -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\
\left( P^{-1}AP \right)^n &=& P^{-1}A^n P = \left( \begin{array}{cc} (2a -1)^n & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}となるので、
\begin{eqnarray}
A^n &=& PP^{-1}A^n PP^{-1} \\
&=& P \left( \begin{array}{cc} (2a-1)^n & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) P^{-1} \\
&=& \frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} (2a -1)^n & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\
1 & 1 \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr} (2a -1)^n & 1 \\ -(2a -1)^n & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\
1 & 1 \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr}
(2a -1)^n +1 & -(2a -1)^n +1 \\
-(2a -1)^n +1 & (2a -1)^n +1
\end{array} \right)
\end{eqnarray}を得ます。

したがって
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)
&=& A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{r} (2a -1)^n +1 \\ -(2a -1)^n +1 \end{array} \right) \\
x_n &=& \frac{(2a -1)^n +1}{2} \\
y_n &=& \frac{-(2a -1)^n +1}{2}
\end{eqnarray}を得ます。

よって、数列 $\{ x_n \}$ が収束する必要十分条件は、
\begin{eqnarray}
&& -1 < 2a -1 \leqq 1 \\
& \Leftrightarrow & 0 < 2a \leqq 2 \\
& \Leftrightarrow & 0 < a \leqq 1
\end{eqnarray}となります。