2002年前期京大理系第5問 - 数式で独楽する

$a,b,c$ を実数とする。 $y = x^3 +3ax^2 +3bx$ と $y = c$ のグラフが相異なる3つの交点を持つという。このとき $a^2 > b$ が成立することを示し、さらにこれらの交点の $x$ 座標のすべては開区間 $\displaystyle \left( -a -2\sqrt{a^2 -b}, \ -a +2\sqrt{a^2 -b} \right)$ に含まれることを示せ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
f(x) = x^3 +3ax^2 +3bx
\end{equation}とします。
$y = f(x)$ と $y = c$ のグラフが相異なる3つの交点を持つには、 $f(x)$ が極大値と極小値を持つことが必要です。つまり
\begin{equation}
f'(x) = 3(x^2 -2ax +b) = 0
\end{equation}が相異なる2つの実数解を持つことです。
その条件は、判別式 $D$ について
\begin{equation}
\frac{D}{4} = a^2 -b > 0
\end{equation}であることです。

このとき、 $f(x)$ の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & \cdots & -a -\sqrt{a^2 -b} & \cdots & -a +\sqrt{a^2 -b} & \cdots \\ \hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & \nearrow && \searrow && \nearrow \\ \hline
\end{array}
これより、
\begin{equation}
f \left( -a -\sqrt{a^2 -b} \right) < c < f \left( -a+\sqrt{a^2 -b} \right)
\end{equation}のとき、 $y = f(x)$ と $y = c$ は相異なる3点で交わることになります。交点の $x$ 座標を
\begin{equation}
\alpha < \beta < \gamma
\end{equation}とします。

解と係数の関係により、
\begin{equation}
\alpha +\beta +\gamma = -3a \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが示されます。
解と係数の関係 - 数式で独楽する

$\displaystyle c = f \left( -a +\sqrt{a^2 -b} \right)$ のとき、 $f(x) = c$ は重解
\begin{equation}
\beta = \gamma = -a +\sqrt{a^2 -b}
\end{equation}を持ちます。
もう1つの解は、式(1)により
\begin{equation}
\alpha = -a -2\sqrt{a^2 -b}
\end{equation}となります。
$c$ を増加させると、

$\alpha$ は増加
$\beta$ は減少
$\gamma$ は増加

となります。

$\displaystyle c = f \left( -a -\sqrt{a^2 -b} \right)$ のとき、 $f(x) = c$ は重解
\begin{equation}
\alpha = \beta = -a -\sqrt{a^2 -b}
\end{equation}を持ちます。
もう1つの解は、式(1)により
\begin{equation}
\gamma = -a +2\sqrt{a^2 -b}
\end{equation}となります。
$c$ を減少させると、

$\alpha$ は減少
$\beta$ は増加
$\gamma$ は減少

となります。

したがって
\begin{equation}
f \left( -a -\sqrt{a^2 -b} \right) < c < f \left( -a+\sqrt{a^2 -b} \right)
\end{equation}で $c$ を動かすとき、 $\alpha, \beta, \gamma$ の変化は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
c & f(-a +\sqrt{a^2 -b}) & \nearrow & f(-a -\sqrt{a^2 -b}) \\ \hline
\alpha & -a -2\sqrt{a^2 -b} & \nearrow & -a -\sqrt{a^2 -b} \\
\beta & -a +\sqrt{a^2 -b} & \searrow & -a -\sqrt{a^2 -b} \\
\gamma & -a +\sqrt{a^2 -b} & \nearrow & -a +2\sqrt{a^2 -b} \\ \hline
\end{array}