東大 2019年理科第6問その2 - 数式で独楽する

複素数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ および実数 $a,b$ が、次の3条件をみたしながら動く。
条件1: $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ は相異なる。
条件2: $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ は4次方程式 $z^4 -2z^3 -2az +b =0$ の解である。
条件3: 複素数 $\alpha \beta +\gamma \delta$ の実部は0であり、虚部は0ではない。
(1) $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ のうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2) $b$ を $a$ で表せ。
(3) 複素数 $\alpha +\beta$ がとりうる範囲を複素数平面上に示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

続きです。
東大 2019年理科第6問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

以下、小問(1)の2項b.の条件とします。
\begin{eqnarray}
\alpha &=& s +it \\
\delta &=& s -it \\
&& \beta, \gamma, s,t \in \mathbb{R}
\end{eqnarray}
条件2より、解と係数の関係
\begin{eqnarray}
\alpha +\beta +\gamma +\delta &=& 2 \\
\alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\delta +\delta\alpha +\alpha\gamma +\beta\delta &=& 0 \\
\alpha\beta\gamma +\beta\gamma\delta +\gamma\delta\alpha +\delta\alpha\beta &=& 2a \\
\alpha\beta\gamma\delta &=& b
\end{eqnarray}が成り立ちます。

第1式より、
\begin{equation}
2s +\beta +\gamma = 2 \tag{1}
\end{equation}を得ます。
第2式は、
\begin{equation}
s(\beta -\gamma) +it(\beta -\gamma) +\beta\gamma +s^2 +t^2 +s(\beta -\gamma) -it(\beta -\gamma) =0
\end{equation}です。小問(1)の結果から $s(\beta +\gamma)$ なので、
\begin{equation}
\beta\gamma +s^2 +t^2 = 0 \tag{2}
\end{equation}を得ます。
第3式より、
\begin{equation}
2s\beta\gamma +(s^2 +t^2)(\beta +\gamma) = 2a \tag{3}
\end{equation}
第4式より
\begin{equation}
(s^2 +t^2)\beta\gamma = b \tag{4}
\end{equation}を得ます。

式(3), (4)より、
\begin{equation}
b = -\beta^2 \gamma^2 \tag{5}
\end{equation}となります。

以降、小問(1)で得た

$s=0$ または $\beta +\gamma =0$

のそれぞれについて見ていきます。

(i) $s=0$ の場合
式(1)より
\begin{equation}
\beta +\gamma =2 \tag{6}
\end{equation}です。
式(2), (3), (6)より、
\begin{eqnarray}
-\beta\gamma \cdot 2 &=& 2a \\
\therefore \quad a &=& -\beta\gamma \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。

(ii) $\beta +\gamma =0$ の場合
式(7)より
\begin{eqnarray}
2s\beta\gamma &=& 2a \\
\therefore \quad s\beta\gamma &=& a \tag{8}
\end{eqnarray}です。
一方、式(1)より
\begin{equation}
s = 1 \tag{9}
\end{equation}です。
式(8), (9)より、
\begin{equation}
a = \beta\gamma \tag{10}
\end{equation}となります。
式(5), (10)より、
\begin{equation}
b = -a^2
\end{equation}を得ます。