角の大きさを評価するのに、幾つか手法があります。
一つは、度数法と言われているものです。
もう一つは弧度法と呼ばれているもので、本稿で述べていきます。
「ラジアン」と呼ばれる単位で大きさを表します。
具体的に見ていきましょう。
角の頂点を中心にして円を描き、
角をなす2辺の間にできる扇型の円弧の長さの、
円の半径に対する比
で表します。
半径を、円弧の長さを
とするとき、角の大きさ
を
\begin{equation}
\theta = \frac{l}{r}
\end{equation}で表します。
円弧の長さは、
\begin{equation}
l=r\theta \tag{1}
\end{equation}で表しています。
ではなぜ「弧度法」なるものを持ち出しているのでしょうか？
三角比の値を出す目的では、角度の数え方を変える必要って見出だせないんですよね。
角度を、360分割ではなくて、弧の長さで表現することで、数学的に都合が良くなるのです。
上の(1)式で、
\begin{equation}
\theta=2\pi
\end{equation}を代入してみましょう。
\begin{equation}
l=2\pi r \tag{2}
\end{equation}が得られます。
これは、半径の円の円周です。
つまり、360ºとを対応させると、(1)式と(2)式を同じ視点で見ることができるようになるのです。
扇型の弧の長さを度で表すと、
\begin{equation}
l=2\pi r \cdot \frac{\theta}{360} \tag{3}
\end{equation}です。
(1)式と(3)式を比べると、(1)式の方がシンプルに記述できていることが分かります。
ラジアンを用いて数学的に都合が良くなる例は、別の記事でも紹介します。
弧度法と度数法の比較は、次のようになります。
| 項目 | 弧度法 | 度数法 |
|---|---|---|
| 単位 | ラジアン | 度 |
| 記号 | rad | º |
| 1周 | 360 | |
| 弧の長さ | ||
| 扇型の面積 |
