「ケプラーの法則」は、惑星の運動に関する法則です。
「万有引力の法則」とは、全ての物体が互いに引き合うという法則です。
ケプラーの法則は、万有引力の法則から導くことができます。
2つの物体の間に働く万有引力は、それぞれの質量に比例し、互いの距離の2乗に反比例します。数式で表すと、
\begin{equation}
F = -G \frac{Mm}{r^2}
\end{equation}です。万有引力は2体間の距離が縮まる方向に働くので、マイナスの符号が付いています。
ここで、
です。
さて、2つの物体の運動を記述するにあたり、両者の質量を とします。
また、2つの物体の運動は、平面上で記述できます。
大きい方の物体は動かないと仮定すると、大小の物体を結ぶ直線と小物体の速度ベクトルで平面が定まるので、この平面上で記述することになります。
大きい物体が等速度運動をしていても、大きい物体の運動と平行に動く座標系を考慮すれば同じことになります。
さてさて。
大きい物体を座標系の原点に置き、小さい方の運動を極座標系 つまり2体間の距離と偏角で記述していきます。
万有引力は偏角方向には働かないので、成分に分けると
\begin{eqnarray}
F_r &=& -G \frac{Mm}{r^2} \tag{1} \\
F_\theta &=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}となります。
力と質量と加速度の関係は
\begin{equation}
m \boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}
\end{equation}です。
また、加速度の極座標表示は
\begin{eqnarray}
a_r &=& \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \\
a_\theta &=& 2 \dot{r} \dot{\theta} + \ddot{\theta}
\end{eqnarray}です。頭のドットは時間微分を表します。
したがって、
\begin{eqnarray}
\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 &=& -\frac{G M}{r^2} \tag{3} \\
2 \dot{r} \dot{\theta} + \ddot{\theta} &=& 0 \tag{4}
\end{eqnarray}となります。
ここで式(4)に注目します。
\begin{equation}
(r^2 \dot{\theta})' = 2r \dot{r} \dot{\theta} + r^2 \ddot{\theta}
\end{equation}なので、式(4)の両辺にを乗じると、
\begin{equation}
(r^2 \dot{\theta})' = 0
\end{equation}となります。つまり、
\begin{equation}
r^2 \dot{\theta} = h \ \mbox{(定数)} \tag{5}
\end{equation}を得ます。
式(5)が意味するところは
ということです。これを
という言い方をします。
これが「ケプラーの第2法則(面積速度一定の法則)」です。
また、
\begin{eqnarray}
(mr^2 \dot{\theta})' &=& 0 \\
mr^2 \dot{\theta} &=& \mbox{一定}
\end{eqnarray}と書くと、角運動量が保存されることを表します。
式(5)を式(3)に代入します。
\begin{eqnarray}
\ddot{r} -\frac{h^2}{r^3} &=& - \frac{G M}{r^2} \\
m \ddot{r} &=& \frac{mh^2}{r^3} -G \frac{Mm}{r^2}
\end{eqnarray}さらに両辺を 倍すると、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \, m \dot{r}^2 \right) &=& \frac{mh}{r^3} \frac{dr}{dt} - G \frac{Mm}{r^2} \frac{dr}{dt} \\
\frac{1}{2} \, m \dot{r}^2 &=& \int \left( \frac{mh^2}{r^3} - G \frac{Mm}{r^2} \right) dr \\
&=& -\frac{mh^2}{2r^2} + G \frac{Mm}{r} + \mbox{定数}
\end{eqnarray}を得ます。
ここで、
\begin{eqnarray}
h &=& r^2 \dot{\theta} \tag{5} \\
v_r &=& \dot{r} \\
v_\theta &=& r \dot{\theta}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, m \left( {v_r}^2 + {v_\theta}^2 \right) -G \frac{Mm}{r} = \mbox{一定}
\end{equation}となります。
左辺の第1項は運動エネルギー、第2項は位置エネルギーなので、この式はエネルギー保存則を表します。
