曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトル
の変化を考えます。
単位接線ベクトル - 数式で独楽する
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{t} = \boldsymbol{t}(s +\Delta s) -\boldsymbol{t}(s)
\end{equation}で、と
のなす角を
とします。
は、単位接線ベクトル
の向きを表します。無次元のパラメータです。
このとき、微小区間でどれだけ向きが変わるかという量、つまり曲がり具合を評価することができます。これを「曲率」といい、
\begin{equation}
\kappa = \frac{d\theta}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s}
\end{equation}で定義します。曲率は長さの逆数の次元です。
\begin{equation}
\rho = \frac{1}{\kappa}
\end{equation}は長さの次元で、「曲率半径」といいます。
微小な区間であれば曲線は円で近似できます。この近似円の中心を「曲率中心」といいます。
円の場合、中心からの距離は一定で、
\begin{eqnarray}
s &=& r \theta \\
ds &=& r \, d\theta
\end{eqnarray}なので、曲率は
\begin{equation}
\kappa = \frac{d\theta}{ds} = \frac{d\theta}{r \, d\theta} = \frac{1}{r}
\end{equation}曲率半径は
\begin{equation}
\rho = \frac{1}{\kappa} = r
\end{equation}です。
