半径の球の表面積
は
\begin{equation}
S = 4\pi r^2
\end{equation}であることは、中学校で習います。
ですが、なぜそうなるのかは、教えてくれません。
積分を上手に使うと、求めることができます。
\begin{eqnarray}
S &=& \iint_S dS \\
&=& \iint_S r \, d\theta \, \cdot r \, \sin \theta \, d\phi \tag{1}
\end{eqnarray}
微小な部分を足し上げて、球の表面積を求めていきます。
では、その微小な部分とはどういうものか？ ということが問題になります。
半径は一定です。
角が変化する方向の微小な長さは
、
角が変化する方向の微小な長さは
です。
よって式(1)を組んでいます。
式(1)に戻ります。積分される関数はのみの関数です。
したがって、次のように変形して、球の表面積を得ます。
\begin{eqnarray}
S &=& r^2 \int_0^\pi \sin \theta \, d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \\
&=& r^2 \, \biggl[ - \cos \theta \biggr]_0^\pi \biggl[ \ \phi \ \biggr]_0^{2\pi} \\
&=& r^2 \cdot 2 \cdot 2\pi \\
&=& 4\pi r^2
\end{eqnarray}となります。
