代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、36ºと54ºの三角比を求めてみます。
二等辺三角形ABCがあります。
頂角Aは36º、底角B, Cは72ºです。*1
底角Cの二等分線を引きます。
\begin{equation}
\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DA C} =36^\circ
\end{equation}なので、△DACは二等辺三角形です。
\begin{equation}
\angle \mathrm{CBD} = \angle \mathrm{CDB} = 72^\circ
\end{equation}なので、△CBDも二等辺三角形で△CDB∽△ABCです。
これより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \tag{1}
\end{equation}です。
BC=1, BD=とします。
CD=DA=1でもあるのでAB=です。式(1)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{x}{1} = \frac{1}{x+1}
\end{equation}が得られます。整理すると、
\begin{equation}
x^2+x-1=0 \tag{2}
\end{equation}となります。これを解くと、
\begin{equation}
x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{equation}となります。*2
頂点Dより等辺ABに垂線を下ろし、足をEとします。
垂線CEは角BCDの二等分線に、なおかつBDの垂直二等分線になります。
これより、
\begin{eqnarray}
\cos 36^\circ &=& \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} \\
&=& \frac{\ \displaystyle 1+\frac{x}{2}\ }{1+x} \\
&=& \frac{\ 1+ \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4} \ }{1+\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}} \\
&=& \frac{\sqrt{5}+3}{2(\sqrt{5}+1)} \\
&=& \frac{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-1)}{2(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} \\
&=& \frac{2\sqrt{5}+2}{2\cdot 4} \\
&=& \frac{\sqrt{5}+1}{4}
\end{eqnarray}
が得られます。
サインの値は
\begin{equation}
\cos^2 36^\circ + \sin^2 36^\circ = 1
\end{equation}より求めます。
\begin{eqnarray}
\sin 36^\circ &=& \sqrt{1-\cos^2 36^\circ} \\
&=&\sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)^2} \\
&=& \sqrt{\frac{16-(6+2\sqrt{5})}{16}} \\
&=& \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5} \ }}{4}
\end{eqnarray}
タンジェントも定義通り計算します。
\begin{eqnarray}
\tan 36^\circ &=& \frac{\sin 36^\circ}{\cos 36^\circ} \\
&=& \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5} \ }}{\sqrt{5}+1} \\
&=& \frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} \\
&=& \frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{80-32\sqrt{5} \ }}{4} \\
&=& \sqrt{5-2\sqrt{5} \ } \\
\tan 54^\circ &=& \frac{1}{\tan 36^\circ} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5} \ }} \\
&=& \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5} \ }}{\sqrt{5}} \\
&=& \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5} \ }}{5}
\end{eqnarray}
まとめると次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin 36^\circ = \cos 54^\circ &=& \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5} \ }}{4} \\
\cos 36^\circ = \sin 54^\circ &=& \frac{\sqrt{5}+1}{4} \\
\tan 36^\circ &=& \sqrt{5-2\sqrt{5} \ } \\
\tan 54^\circ &=& \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5} \ }}{5}
\end{eqnarray}
ラジアンで書くと、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin \frac{\pi}{5} = \cos \frac{3}{10} \pi &=& \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5} \ }}{4} \\
\cos \frac{\pi}{5} = \sin \frac{3}{10} \pi &=& \frac{\sqrt{5}+1}{4} \\
\tan \frac{\pi}{5} &=& \sqrt{5-2\sqrt{5} \ } \\
\tan \frac{3}{10} \pi &=& \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5} \ }}{5}
\end{eqnarray}
なお、
\begin{equation}
\cos 108^\circ = -\cos 72^\circ
\end{equation}より求めることができます。
三角比36ºと54º その2 - 数式で独楽する
