代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、18ºと72ºの三角比を求めてみます。
二等辺三角形ABCがあります。
頂角Aは36º、底角B, Cは72ºです。*1
底角Cの二等分線を引きます。
\begin{equation}
\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DA C} =36^\circ
\end{equation}なので、△DACは二等辺三角形です。
\begin{equation}
\angle \mathrm{CBD} = \angle \mathrm{CDB} = 72^\circ
\end{equation}なので、△CBDも二等辺三角形で△CDB∽△ABCです。
これより、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \tag{1}
\end{equation}です。
BC=1, BD=とします。
CD=DA=1でもあるのでAB=です。式(1)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{x}{1} = \frac{1}{x+1}
\end{equation}が得られます。整理すると、
\begin{equation}
x^2+x-1=0 \tag{2}
\end{equation}となります。これを解くと、
\begin{equation}
x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{equation}となります。*2
頂点Dより等辺ABに垂線を下ろし、足をEとします。
垂線CEは角BCDの二等分線に、なおかつBDの垂直二等分線になります。
これより、
\begin{eqnarray}
\sin 18^\circ &=& \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BC}} \\
&=& \frac{\displaystyle \ \frac{x}{2}\ }{1} \\
&=& \frac{\sqrt{5}-1}{4}
\end{eqnarray}
が得られます。
コサインの値は
\begin{equation}
\cos^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ = 1
\end{equation}より求めます。
\begin{eqnarray}
\cos 18^\circ &=& \sqrt{1-\sin^2 18^\circ} \\
&=&\sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2} \\
&=& \sqrt{\frac{16-(6-2\sqrt{5})}{16}} \\
&=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5} \ }}{4}
\end{eqnarray}
タンジェントも定義通り計算します。
\begin{eqnarray}
\tan 18^\circ &=& \frac{\sin 18^\circ}{\cos 18^\circ} \\
&=& \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5} \ }} \\
&=& \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2 (10-2\sqrt{5})}{(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}} \\
&=& \sqrt{\frac{(6-2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}{80}} \\
&=& \sqrt{\frac{80-32\sqrt{5}}{80}} \\
&=& \sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{5}} \\
&=& \frac{\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }}{5} \\
\tan 72^\circ &=& \frac{1}{\tan 18^\circ} \\
&=& \frac{5}{\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }} \\
&=& \frac{5\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }}{\sqrt{125}} \\
&=& \sqrt{5+2\sqrt{5} \ }
\end{eqnarray}
まとめると次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin 18^\circ = \cos 72^\circ &=& \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\cos 18^\circ = \sin 72^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5} \ }}{4} \\
\tan 18^\circ &=& \frac{\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }}{5} \\
\tan 72^\circ &=& \sqrt{5+2\sqrt{5} \ }
\end{eqnarray}
ラジアンで書くと、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin \frac{\pi}{10} = \cos \frac{2}{5} \pi &=& \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\cos \frac{\pi}{10} = \sin \frac{2}{5} \pi &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5} \ }}{4} \\
\tan \frac{\pi}{10} &=& \frac{\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }}{5} \\
\tan \frac{2}{5} \pi &=& \sqrt{5+2\sqrt{5} \ }
\end{eqnarray}
cos 36°が既知であれば、倍角と半角の公式で求めることもできます。
三角比18°と72º その2 - 数式で独楽する
