二重根号

根号、ルート記号が出て来ると、いかつい感じがしてきます。
中学の数学で立ちはだかる、いかにも数学、という記号です。
これが2重になると、おどろおどろしさを醸し出してきます。

この厳つい二重根号ですが、外せる場合があります。
見ていきましょう。

式での場合、
\begin{equation}
\sqrt{p+2\sqrt{q} \ }=\sqrt{a}+\sqrt{b}
\end{equation}となります。ただし、a, bは正の数です。

証明は次の通りです。
\begin{equation}
\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^2=a+b+2\sqrt{ab}
\end{equation}なので、両辺の平方根をとって、
\begin{equation}
\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab} \ }
\end{equation}となります。
ここで、とすれば、
\begin{equation}
\sqrt{p+2\sqrt{q} \ }=\sqrt{a}+\sqrt{b}
\end{equation}となります。

同様に、
\begin{equation}
\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab} \ }
\end{equation}が成り立ちます。この場合はです。
ここで、とすれば、
\begin{equation}
\sqrt{p-2\sqrt{q} \ }=\sqrt{a}-\sqrt{b}
\end{equation}となります。

まとめると、次の通りです。
次の式でであれば、
\begin{eqnarray}
\sqrt{p+2\sqrt{q} \ } &=& \sqrt{a}+\sqrt{b} &&\\
\sqrt{p-2\sqrt{q} \ } &=& \sqrt{a}-\sqrt{b} && (a>b>0)
\end{eqnarray}