京大 2012年理系第4問その2 - 数式で独楽する

(1) $\sqrt [3]{2}$ が無理数であることを証明せよ。
(2) $P(x)$ は有理数を係数とする $x$ の多項式で、 $P \left( \sqrt[3]{2} \right) =0$ を満たしているとする。このとき $P(x)$ は $x^3 -2$ で割り切れることを示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(2)の解説

小問(1)の解答例

京大 2012年理系第4問その1 - 数式で独楽する
続きです。

小問(2)の解答例

多項式 $P(x)$ を、有理数を係数とする多項式 $Q(x)$ と有理数 $a,b,c$ を用いて
\begin{equation}
P(x) = (x^3 -2)Q(x) +ax^2 +bx +c \tag{0}
\end{equation}とします。
$P \left( \sqrt[3 ]{2} \right) =0$ より、
\begin{equation}
\sqrt[3]{4} \, a +\sqrt[3]{2} \, b +c = 0 \tag{1}
\end{equation}を得ます。

ここで $a \ne 0$ を仮定します。
式(1)より、
\begin{equation}
\sqrt[3]{4} = -\frac{b}{a} \, \sqrt[3]{2} -\frac{c}{a} \tag{2}
\end{equation}を得ます。

一方、式(1)を
\begin{equation}
b \sqrt[3]{2} = -a \sqrt[3]{4} -c
\end{equation}として両辺を平方すると、
\begin{eqnarray}
b^2 \sqrt[3]{4} &=& 2a^2 \sqrt[3]{2} +2ac \sqrt[3]{4} +c^2 \\
\therefore \quad (b^2 -2ac) \sqrt[3]{4} &=& 2a \sqrt[3]{2} +c^2 \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。

式(2), (3)より $\sqrt[3 ]{4}$ を消去すると、
\begin{eqnarray}
-\frac{b}{a} \, (b^2 -2ac) &=& 2a^2 \tag{4} \\
-\frac{c}{a} \, (b^2 -2ac) &=& c^2 \tag{5}
\end{eqnarray}を得ます。
式(5)を変形すると、
\begin{equation}
c(b^2 -ac) = 0
\end{equation}となります。

$c=0$ の場合、式(4)より
\begin{eqnarray}
-\frac{b^3}{a} &=& 2a^2 \\
-\frac{b^3}{a^3} &=& 2
\end{eqnarray}です。 $a,b$ が有理数であることを考慮すれば
\begin{equation}
-\frac{b}{a} = \sqrt[3]{2}
\end{equation}となりますが、左辺は有理数、右辺は無理数なので、この式は成り立ち得ません。

一方、 $c \ne 0$ の場合は
\begin{equation}
b^2 -ac = 0
\end{equation}です。式(4)より、
\begin{equation}
\frac{b^3}{a} = 2a^2
\end{equation}となります。 $c=0$ の場合と同様に
\begin{equation}
\frac{b}{a} = \sqrt[3]{2}
\end{equation}となりますが、やはり左辺は有理数、右辺は無理数なので、この式は成り立ち得ません。

つまり、 $a \ne 0$ の仮定が誤りだったということになり、
\begin{equation}
a = 0 \tag{6}
\end{equation}を得ます。
背理法 - 数式で独楽する

これを式(1)に代入すると
\begin{equation}
b \sqrt[3]{2} +c = 0
\end{equation}となります。
$b,c$ が有理数で $\sqrt[3]{2}$ は無理数なので、
\begin{equation}
b = c = 0 \tag{7}
\end{equation}を得ます。