黄金数の多重根号表記 - 数式で独楽する

黄金数
\begin{equation}\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{equation}は、
\begin{equation}
\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}}
\end{equation}と表すことができます。
根号に根号が重なり、それが無限に続く形です。

本当にこのように表せるのかと見てみましょう。

黄金数 $\phi$ は、
\begin{equation}
\phi^2 = \phi + 1 \tag{1}
\end{equation}を満たします。

式(1)の両辺の平方根をとります。もちろん $\phi > 0$ なので、
\begin{equation}
\phi = \sqrt{1 + \phi} \tag{2}
\end{equation}となります。

式(2)の右辺の $\phi$ に、さらに式(2)を代入すると、次のようになります。
\begin{equation}
\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \phi}}
\end{equation}
繰り返します。
\begin{eqnarray}
\phi &=& \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \phi}}} \\
\phi &=& \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \phi}}}}
\end{eqnarray}

この操作を無限に繰り返すと、
\begin{equation}
\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}}
\end{equation}を得ることができます。