相加平均、相乗平均、調和平均 - 数式で独楽する
で、相加平均(算術平均)、相乗平均(幾何平均)、調和平均について述べました。
本稿では、3つの平均の関係について述べていきます。
なお、本稿では要素は2個の負でない数とします。なお、調和平均との関係では
です。
相加平均、相乗平均、調和平均の関係
\begin{equation}
\frac{2ab}{a+b} \leqq \sqrt{ab}\leqq \frac{a+b}{2}
\end{equation}
相加平均と相乗平均の関係
双方を平方して差をとります。
\begin{eqnarray}
\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 - ab &=& \frac{1}{4}(a^2 + 2ab + b^2) -ab \\
&=& \frac{1}{4} (a^2 - 2ab + b^2) \\
&=& \frac{1}{4} (a -b)^2 \geqq 0
\end{eqnarray}より、
\begin{equation}
\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 \geqq ab
\end{equation}です。
いずれも正または0なので、
\begin{equation}
\sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2} \tag{1}
\end{equation}です。
等号が成立するのはの場合です。
相加平均と調和平均の関係
双方の差をとります。
\begin{eqnarray}
\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} &=& \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} \\
&=& \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2(a+b)} \\
&=& \frac{(a -b)^2}{2(a+b)} \geqq 0
\end{eqnarray}です。
よって、
\begin{equation}
\frac{2ab}{a+b} \leqq \frac{a+b}{2} \tag{2}
\end{equation}です。
等号が成立するのはの場合です。
相乗平均と調和平均の関係
双方の比をとります。
\begin{equation}
\cfrac{\sqrt{ab}}{\ \cfrac{2ab}{a+b} \ } = \frac{a+b}{2} \frac{1}{\sqrt{ab}} \geqq 1
\end{equation}です。
最後は相加平均と相乗平均の関係を用いています。
これより、
\begin{equation}
\frac{2ab}{a+b} \leqq \sqrt{ab} \tag{3}
\end{equation}を得ます。
等号が成立するのはの場合です。
まとめ
式(1)~(3)より、
\begin{equation}
\frac{2ab}{a+b} \leqq \sqrt{ab}\leqq \frac{a+b}{2}
\end{equation}を得ます。
等号が成立するのはの場合です。
