カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。
カルダノの公式
3次方程式
\begin{equation}
x^3 +px +q = 0 \tag{1}
\end{equation}の解の一つは
\begin{equation}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{equation}と表すことができます。
先の記事
カルダノの公式 その1 - 数式で独楽する
で、式(1)なる3次方程式の解の一つは上のように表すことができると書きましたが、途中の話はこれでよいのか？ ということを、本稿で述べていきます。
まず、先の記事で出て来た式を並べてみます。
\begin{eqnarray}
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz &=& (x +y +z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx) \tag{2} \\
p &=& -3yz \tag{3} \\
q &=& y^3 +z^3 \tag{4} \\
z^3 &=& \cfrac{q \pm \sqrt{q^2 +4\left( \cfrac{p}{3} \right)^3}}{2} \\
&=& \frac{q}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \tag{5'} \\
z &=& \sqrt[3]{\frac{q}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \tag{5} \\
y^3 &=& \frac{q}{2} \mp \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \tag{6'} \\
y &=& \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \tag{6}
\end{eqnarray}
カルダノの公式が出た時代、複素数の概念はまだありません。
\begin{equation}
\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3 < 0
\end{equation}の場合は実数解が虚数で表されることがあり得ることになります。
また、式(6')→(6)および式(7')→(7)の変形で解を1つとしています。
なお、現在では、の解は
が実数か否かに拘わらず、
\begin{eqnarray}
x &=& \sqrt[3]{q}, \ \omega \sqrt[3]{q}, \ \omega^2 \sqrt[3]{q} \\
&& \omega = \frac{-1 +\sqrt{3} \, i}{2}
\end{eqnarray}となることは分かっています。
\begin{eqnarray}
z_0 &=& \sqrt[3]{\frac{q}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \\
y_0 &=& \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{eqnarray}とすると
\begin{eqnarray}
z &=& z_0, \ \omega z_0, \ \omega^2 z_0 \\
y &=& y_0, \ \omega y_0, \ \omega^2 y_0
\end{eqnarray}ですが、式(3)の条件によりの組は
\begin{equation}
(y,z) = (y_0, z_0), \ (\omega y_0, \omega^2 z_0), \ (\omega^2 y_0, \omega z_0)
\end{equation}となります*1。なお、複号は同順です。
また
\begin{eqnarray}
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz &=& 0 \\
(x +y +z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx) &=& 0
\end{eqnarray}より
\begin{equation}
x = -y -z \tag{7}
\end{equation}または
\begin{equation}
x^2 -(y +z)x y^2 +z^2 -yz = 0 \tag{8}
\end{equation}で、式(7)でを求めます。
は複号の正負が互いに逆の関係です。複号が同順であることを踏まえ、改めて
\begin{eqnarray}
y_0 &=& \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \\
z_0 &=& \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
x = -y_0 -z_0, \ -\omega y_0 -\omega^2 z_0, \ -\omega^2 y_0 -\omega z_0 \tag{9}
\end{equation}を得ます。
一方、式(8)より
\begin{equation}
x = -\omega y -\omega^2 z, \ -\omega^2 y -\omega z
\end{equation}ですが、式(9)のいずれを採っても他の2つが得られます*2。
つまり、先の記事のやり方で、きちんと解が3つ出てきているということですね。
*1:例えば \begin{equation} z = \omega z_0 = \omega \sqrt[3]{\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3 \ }} \end{equation}とすると、 \begin{eqnarray} y &=& -\frac{p}{3z} = -\frac{p}{3 \omega z_0}\\ &=& -\frac{p}{3} \frac{1}{\omega \sqrt[3]{\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3 \ }}} \\ &=& -\frac{p}{3} \frac{\omega^2 \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3 \ }}}{-\sqrt[3]{\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \\ &=& \omega^2 \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3 \ }} \\ &=& \omega^2 y_0 \end{eqnarray} となります。複号は同順です。
*2:例えば \begin{equation} x = -\omega y_0 -\omega^2 z_0 \end{equation}の場合 \begin{eqnarray} -\omega y -\omega^2 z &=& -\omega^2 y_0 -\omega z_0 \\ -\omega^2 y -\omega z &=& -y_0 -z_0 & (\because \ \omega^3 =1) \end{eqnarray}です。
