カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。
カルダノの公式
3次方程式
\begin{equation}
x^3 +px +q = 0 \tag{1}
\end{equation}の解の一つは
\begin{equation}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{equation}と表すことができます。
任意の3次方程式は、適切な変換により、式(1)の形にすることができます。
3次方程式の一般形 - 数式で独楽する
式(1)で
\begin{equation}
x = u +v \tag{2}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
u^3 +3u^2 v +3uv^2 +v^3 +p(u +v) +q = 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
u^3 +v^3 +q +(3uv +p)(u +v) = 0 \tag{3}
\end{equation}となります。
\begin{eqnarray}
u^3 +v^3 +q &=& 0 \tag{4} \\
3uv +p &=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}とすれば、未知数に対して式(3)が成り立つことになります。
解と係数の関係により、は
\begin{equation}
t^2 +qt -\left( \frac{p}{3}\right)^3 = 0
\end{equation}の解
\begin{equation}
u^3, v^3 = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3}
\end{equation}であることが分かります。
の対称性から
\begin{eqnarray}
u^3 &=& -\frac{q}{2} +\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \tag{6} \\
v^3 &=& -\frac{q}{2} -\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \tag{7}
\end{eqnarray}としても一般性を失いません。
\begin{eqnarray}
y &=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \\
z &=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 -\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \\
\omega &=& \frac{-1 +\sqrt{3} \, i}{2}
\end{eqnarray}とすると、式(6), (7)より
\begin{eqnarray}
u &=& y, \ \omega y, \ \omega^2 y \\
v &=& z, \ \omega z, \ \omega^2 z
\end{eqnarray}となります。式(5)で拘束されているので、の組は
\begin{eqnarray}
(u,v) &=& (y,z), \\
&& (\omega y, \omega^2 z), \\
&& (\omega^2 y, \omega z)
\end{eqnarray}の3組となります。
よって、式(2)により3つの解
\begin{eqnarray}
x &=& y +z, \\
&& \omega y +\omega^2 z, \\
&& \omega^2 y +\omega z
\end{eqnarray}を得ます。
式(1)の解の1つを書き下すと
\begin{equation}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{equation}です。
こちらの方が、ややすっきりした感じがします。
