3次方程式は
\begin{equation}
x^3 +px +q = 0
\end{equation}と変形することが可能。
3次方程式
\begin{equation}
ax^3 +bx^2 +cx +d = 0 \quad (a \ne 0) \tag{1}
\end{equation}は、適当な変換を行うことで冒頭の形にすることができます。式(1)は3次方程式なので、を前提としています。
両辺をで割ると、
\begin{equation}
x^3 +\frac{b}{a} \, x^2 +\frac{c}{a} \, x +\frac{d}{a} = 0
\end{equation}となります。
つまり、式(1)を解くことは、
\begin{equation}
x^3 +ex^2 +fx +g = 0 \tag{2}
\end{equation}を解くのと同じことになります。
式(2)で
\begin{equation}
X = x +\frac{1}{3} \, e
\end{equation}とおくと、
\begin{eqnarray}
x^3 &=& X^3 &-& eX^2 &+& \frac{1}{3} \, e^2 X &-& \frac{1}{27} \, e^3 \\
ex^2 &=& && eX^2 &-& \frac{2}{3} \, e^2 X &+& \frac{1}{9} \, e^3 \\
fx &=& && && \quad \ fX &-& \frac{1}{3} \, ef +g
\end{eqnarray}です。
\begin{eqnarray}
p &=& f -\frac{1}{3} \, e^2 \\
q &=& \frac{2}{27} \, e^3 -\frac{1}{3}\, ef +g
\end{eqnarray}とおくと、式(2)は
\begin{equation}
X^3 +pX +q = 0
\end{equation}となります。
つまり、適当な変形で式(1)を
\begin{equation}
x^3 +px +q = 0
\end{equation}とすることができます。
つまり、2次の項を消すことができるのです。
やっていることは下の記事とほぼ同じです。
3次式の立方完成 - 数式で独楽する
