三角関数の加法定理は、
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
で表されます。
証明方法はいくつかあります。
このページでは、回転行列を用いて証明していきます。
座標平面(xy平面)において、原点を中心に角θだけ回転させる行列R(θ)は、
\begin{equation}
R(\theta) =
\left(
\begin{array}{cr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right)
\end{equation}と表されます。
角の回転は、角
の回転の後に角
の回転をしたものに等しいです。
すなわち、
\begin{equation}
R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)
\end{equation}と書くことができます。
行列の形式に書き換えます。
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cr}
\cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\
\sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta)
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cr}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cr}
\cos \beta & -\sin \beta \\
\sin \beta & \cos \beta
\end{array}
\right)
\end{equation}
右辺を展開すると、
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cr}
\cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\
\sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta)
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cr}
\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\\
\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{array}
\right)
\end{equation}となります。
行列の各成分は等しいので、
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
が得られます。
