回転行列 - 数式で独楽する

加法定理・回転行列による証明 - 数式で独楽する
では、

座標平面( $xy$ 平面)において、原点を中心に角 $\theta$ だけ回転させる行列 $R(\theta)$ は、
\begin{equation}
R(\theta) =
\left(
\begin{array}{cr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right)
\end{equation}と表されます。

と述べました。
このページでは、回転を表す行列 $R(\theta)$ を求めていきます。

点(1, 0)および(0, 1)は、 $R(\theta)$ によって次のように移されます。
\begin{eqnarray}
R(\theta) &: & (1,0) & \to & (\cos \theta , \sin \theta) \\
R(\theta) &: & (0,1) & \to & (-\sin \theta, \cos \theta)
\end{eqnarray}
各点を列ベクトルで表記すると、点(1, 0)の変換は次のように書けます。
\begin{equation}
R(\theta) \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{r}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array}
\right) \tag{1}
\end{equation}

同様に、点(0, 1)の変換は次のように書けます。
\begin{equation}
R(\theta) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{r}
- \sin \theta \\
\cos \theta
\end{array}
\right) \tag{2}
\end{equation}

式(1)および(2)を並べて書くと、次のようになります。
\begin{equation}
R(\theta) \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{cr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \tag{3}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
I = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation}は、単位行列であり、任意の行列 $A$ に対し、
\begin{equation}
AI=IA=A
\end{equation}を満たします。

したがって、式(3)は次のようになります。
\begin{equation}
R(\theta) =
\left(
\begin{array}{cr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right)
\end{equation}
これで、回転を表す行列を導くことができました。